[Risolto] Aritmetica

$Massimo$ $Comun$ $Divisore$

Per trovare il $MCD$ tra i diversi gruppi di numeri cominciamo calcolare i loro divisori per poi trovarne il massimo tra quelli comuni.

 

$Primo$ $Gruppo$ 

$Div$$\bigl($ $6$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$ $1$, $2$, $3$, $6$ $\bigr\}$

$Div$$\bigl($ $10$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$ $1$, $2$, $5$, $10$ $\bigr\}$

$Div$$\bigl($ $18$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$ $1$, $2$, $3$, $6$, $9$, $18$ $\bigr\}$

 

$Div$$\bigl($ $6$ $\bigr)$ $\cap$ $Div$$\bigl($ $10$ $\bigr)$ $\cap$ $Div$$\bigl($ $18$ $\bigr)$ $\iff$ $\bigl\{$ $1$, $2$, $3$, $6$ $\bigr\}$ $\cap$ $\bigl\{$ $1$, $2$, $5$, $10$ $\bigr\}$ $\cap$ $\bigl\{$ $1$, $2$, $3$, $6$, $9$, $18$ $\bigr\}$ $\iff$ $\bigl\{$ $1$, $2$ $\bigr\}$.

 

$MCD$$\bigl($ $6$, $10$, $18$ $\bigr)$ $=$ $Max$$\bigl($ $\bigl\{$ $1$, $2$ $\bigr\}$ $\bigr)$ $=$ $2$.

 

$Secondo$ $Gruppo$ 

$Div$$\bigl($ $15$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$ $1$, $3$, $5$, $15$ $\bigr\}$

$Div$$\bigl($ $20$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$ $1$, $2$, $5$, $4$, $10$, $20$ $\bigr\}$

$Div$$\bigl($ $25$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$ $1$, $5$, $25$ $\bigr\}$

 

$Div$$\bigl($ $15$ $\bigr)$ $\cap$ $Div$$\bigl($ $20$ $\bigr)$ $\cap$ $Div$$\bigl($ $25$ $\bigr)$ $\iff$ $\bigl\{$ $1$, $3$, $5$, $15$ $\bigr\}$ $\cap$ $\bigl\{$ $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $20$ $\bigr\}$ $\cap$ $\bigl\{$ $1$, $5$, $25$ $\bigr\}$ $\iff$ $\bigl\{$ $1$, $5$ $\bigr\}$.

 

$MCD$$\bigl($ $15$, $20$, $25$ $\bigr)$ $=$ $Max$$\bigl($ $\bigl\{$ $1$, $5$, $\bigr\}$ $\bigr)$ $=$ $5$.

 

$Terzo$ $Gruppo$ 

$Div$$\bigl($ $7$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$ $1$, $7$ $\bigr\}$

$Div$$\bigl($ $35$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$ $1$, $5$, $7$, $35$ $\bigr\}$

$Div$$\bigl($ $20$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$ $1$, $2$, $5$, $4$, $10$, $20$ $\bigr\}$

 

$Div$$\bigl($ $7$ $\bigr)$ $\cap$ $Div$$\bigl($ $35$ $\bigr)$ $\cap$ $Div$$\bigl($ $20$ $\bigr)$ $\iff$ $\bigl\{$ $1$, $7$ $\bigr\}$ $\cap$ $\bigl\{$ $1$, $5$, $7$, $35$ $\bigr\}$ $\cap$ $\bigl\{$ $1$, $2$, $5$, $4$, $10$, $20$ $\bigr\}$ $\iff$ $\bigl\{$ $1$ $\bigr\}$.

 

$MCD$$\bigl($ $7$, $35$, $20$ $\bigr)$ $=$ $Max$$\bigl($ $\bigl\{$ $1$ $\bigr\}$ $\bigr)$ $=$ $1$.

 

$Minimo$ $Comune$ $Multiplo$

Ora per trovare il $mcm$ dobbiamo cercare prima tutti i multipli in comune e poi trovare il minimo. In questo caso possiamo optare per la scomposizione in fattori primi e ricordando che : 

$Siano$ $a$ ,$b$ $\in$ $N$. $Si$ $chiama$ $minimo$ $comune$ $multiplo$ $\bigl($ $m$.$c$.$m$ $\bigr)$ $di$ $a$ $e$ $b$ $ogni$ $numero$ $intero$ $m$ $che$ $soddisfa$ $alle$ $seguenti$ $condizioni$ :

$\bigl($ $i$ $\bigr)$ $a$ $|$ $m$ $e$ $b$ $|$ $m$;

$\bigl($ $ii$ $\bigr)$ $\forall$ $x$ $\in$ $N$, $se$ $a$ $|$ $x$ $e$ $b$ $|$ $x$ $allora$ $m$ $|$ $x$;

 

Ora noi stiamo cercando un numero che sia al tempo stesso multiplo di $6$, di $10$ e $18$ e che tra tutti i multipli comuni sia il più piccolo.

Per essere tale numero multiplo di $6$ deve essere divisibile per $6$, per essere multiplo di $10$ deve essere divisibile per $10$ e per essere un multiplo di $18$ deve essere divisibile per $18$. Quindi stiamo cercando un numero che sia divisibile al tempo stesso per $6$, per $10$ e per $18$ e che tra i multipli comuni sia il più piccolo.

Senza perdita di generalità scomponiamo i numeri :

$6$ $=$ $2$ $\cdot$ $3$

$10$ $=$ $5$ $\cdot$ $2$

$18$ $=$ $2$ $\cdot$ $3^{2}$

 

Affinché il numero sia divisibile allo stesso tempo per tutti i numeri deve contenere tutti quei fattori primi tali che il loro prodotto generi $10$  o $6$ o$18$ o i loro multipli. Dunque :

$2^{n}$ $\cdot$ $5^{n}$ $\cdot$ $3^{2}$ $=$ $ipotetico$ $m.c.m$  $\bigl($ con $n$ $\in$ $N$ $\bigr)$ 

Dunque ora siamo sicuri che questo numero trovato sia multiplo allo stesso tempo sia $6$, $10$ che $18$. Ma come facciamo a vedere se si tratta del minimo ?

Basta prendere quei numeri primi tali che il loro prodotto generi, come abbiamo già detto, $10$, $6$, o $18$. Dunque avremo :

$m.c.m$ $=$ $2$ $\cdot$ $3^{2}$ $\cdot$ $5$ $=$ $90$

 

Analoga situazione per gli altri gruppi :

$Secondo$ $Gruppo$ 

$15$ $=$ $5$ $\cdot$ $3$

$20$ $=$ $5$ $\cdot$ $2^{2}$

$25$ $=$ $5^{2}$

$m.c.m$ $=$ $5_{2}$ $\cdot$ $3$ $\cdot$ $2^{2}$ $=$ $300$

 

$Terzo$ $Gruppo$ 

$7$ $=$ $5$

$35$ $=$ $5$ $\cdot$ $7$

$20$ $=$ $5$ $\cdot$ $2^{2}$

$m.c.m$ $=$ $7$ $\cdot$ $5$ $\cdot$ $2^{2}$ $=$ $140$