Verifica che la funzione $y=\left|x^3-2 x^2\right|$ è derivabile per $x=0$ mentre presenta un punto angoloso per $x=2$. Scrivi le equazioni delle rette tangenti nel punto angoloso e determina l'ampiezza dell'angolo acuto formato da tali tangenti, approssimando il risultato a meno di un grado.
$$
\left[y=4 x-8, y=8-4 x, \arctan \frac{8}{15}=28^{\circ}\right]
$$
11881
punti
Livello 2
$y(x) = |x^3-2x^2| = x^2|x-2|$
Calcoliamo le derivate nei punti x = 0 & x = 2
Applichiamo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale
$y'(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac {y(0+h)+y(0)}{h}$
$y'(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac {h^2(-2)}{h} = 0$
La funzione data è derivabile nel punto x = 0.
Per questo caso useremo un metodo alternativo al rapporto incrementale introdotto in precedenza. Eliminiamo il modulo e calcoliamo la derivata nei due intervalli (-∞, 2) e (2, +∞). Dopo avere osservato che la derivata è una funzione continua possiamo calcolare la derivata destra e la derivata sinistra e, di conseguenza scrivere le equazioni delle due rette tangenti.
$ y(x) = x^2(2-x)$
$ y'(x) = 4x - 3x^2$
$ D_{-} y'(2) := \displaystyle\lim_{x \to 2^-} y'(x) = -4$
la retta passante per P(2,0) e avente coefficiente angolare m = -4 ha equazione
$ y = y(2) -4 (x-2) = -4x+8$
$ y(x) = x^2(x-2)$
$ y'(x) = 3x^2 - 4x$
$ D_{+} y'(2) := \displaystyle\lim_{x \to 2^+} y'(x) = 4$
la retta passante per P(2,0) e avente coefficiente angolare m = 4 ha equazione
$ y = y(2) 4 (x-2) = 4x-8$
$tan (β - α) = \frac {-8}{1-16} = \frac {8}{15}$
applichiamo l'arcotangente ad ambo i membri
$ β - α = arctan (\frac {8}{15}) ≅ 28°$
21742
punti
Livello 6
La funzione
* f(x) = y = |x^3 - 2*x^2|
è positiva quasi ovunque, tranne che in x = 0 oppure in x = 2 dove vale zero.
Dal momento che
* x^3 - 2*x^2 > 0 ≡ x > 2
il ribaltamento, dovuto al modulo, del semipiano y < 0 su quello y > 0 dà un punto angoloso solo in x = 2, mentre in x = 0 c'è il punto ordinario O(0, 0).
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La derivata del modulo di una funzione
* f(x) = y = |g(x)|
comporta la funzione segno per tener conto dei punti angolosi
* d/dx |g(x)| = (g(x)/|g(x)|)*g'(x) = sgn(g(x))*g'(x)
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In questo caso
* f'(x) = d/dx |x^3 - 2*x^2| = sgn(x^3 - 2*x^2)*(3*x^2 - 4*x)
e quindi
* f'(0) = 0
* f'(2 - ε) = - (3*ε^2 - 8*ε + 4)*sgn(ε)*sgn(2 - ε)^2 = - (3*ε^2 - 8*ε + 4) ≡ f'(2-) = - 4
* f'(2 + ε) = + (3*ε^2 - 8*ε + 4)*sgn(ε)*sgn(2 - ε)^2 = + (3*ε^2 - 8*ε + 4) ≡ f'(2+) = + 4
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Per il punto (2, 0) passano, oltre alla x = 2, anche tutte e sole le rette
* r(k) ≡ y = k*(x - 2)
per ogni pendenza k reale. Quindi le due tangenti sono
* t1 ≡ r(- 4) ≡ y = - 4*(x - 2) ≡ y = 8 - 4*x
* t2 ≡ r(+ 4) ≡ y = + 4*(x - 2) ≡ y = 4*x - 8
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Per calcolare l'angolo acuto α fra due date rette incidenti, di pendenze note, si fa la differenza fra le inclinazioni e, se ne risulta un angolo ottuso, si considera il suo supplementare.
* θ1 = arctg(- 4) ~= - (75° 57' 50'')
* θ2 = arctg(+ 4) ~= + (75° 57' 50'')
* θ2 - θ1 = 2*arctg(4) ~= 151° 55' 39'' > 90°
* α = π - 2*arctg(4) ~= 28° 4' 21'' ~= 28°
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Dettagli
Il segno di qualcosa si aritmetizza intendendo il meno come "- 1" e il più come "+ 1"; se il qualcosa è zero, privo di segno, ci sono due scuole di pensiero: il matematico puro ci vede una discontinuità di prima specie (da - 1 a + 1), tutti gli altri ce ne vedono due (da - 1 a 0 e da 0 a + 1) e definiscono "sgn(0) = 0".
In tale seconda scuola si aritmetizzano anche i valori di verità intendendo il Falso come "0" e il Vero come "1"; e così si definisce la funzione segno
* sgn(x) = (x > 0) - (x < 0)
57798
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