[Risolto] APPLICAZIONI DELLE DERIVATE.

1. y(x) è continua?

La funzione y(x) è certamente continua nei due tratti (-∞, 2) e (2, +∞) essendo somma, composizioni, etc. di funzioni elementari continue.

Rimane da provare la continuità nel punto di raccordo x = 2. Useremo la definizione di funzione continua in un punto.

• • $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} y(x) = 0$
  • $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} y(x) = 0$
  • $y(2) = 0$

I due limiti laterali oltre ad essere eguali sono eguali al valore assunto dalla funzione, quindi la funzione è continua anche nel punto x = 2.

    2. y(x) è derivabile?

La funzione y(x) è certamente derivabile nei due tratti (-∞, 2) e (2, +∞) essendo somma, composizioni, etc. di funzioni elementari derivabili.

Rimane da provare la derivabilità nel punto di raccordo x = 2. Useremo un lemma applicabile alle funzioni continue che afferma che se le due derivate laterali in x₀ sono diverse allora la funzione non è derivabile in x₀.

• Derivata prima di y(x) per x < 2.
  • $f'(x) = \frac {x^2-10x-20}{(x-5)^2}$
  • $D_{-}(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f'(x) = -4$
• Derivata prima di y(x) per x ≥ 2.
  • $f'(x) = \frac {1}{\sqrt{x-2}}$
  • $D_{+}(2) ≟ \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f'(x) = +∞$.    Non esiste la derivata destra.
• La funzione y(x) non è derivabile nel punto x = 2.

    3. Equazioni delle rette tangenti nei punti x=-1 & x=3

La formula della retta tangente in un punto x₀ è data dalla

$y(x) = y(x_0) + y'(x_0)\cdot(x-x_0)$

• x₀ = -1
  • $y = y(-1) + y'(-1) \cdot (x+1) \implies y = \frac{-9x}{4} + \frac {17}{4}$
• x₀ = 3
  • $y = y(3) + y'(3) \cdot (x-3) \implies y = 2 + 1 (x-3) \implies y = x -1 $