Applicazioni alla goniometria

Anche questo esercizio è di una banalità soporifera.
Usa
* Formula di sottrazione del coseno (scrivi il risultato in funzione di seno e coseno degli addendi).
* Riconoscimento della terna pitagorica (3, 4, 5) oppure seno e coseno in funzione di tangente (per le due funzioni di α mancanti).
* Algebretta (per ripulire le sostituzioni).
e otterrai il risultato.
Vedi http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28arctg%28k%29%29%2Csin%28arctg%28k%29%29

Uso la formula di sottrazione della tangente:

$tan(\beta) = \frac{sen(\beta)}{cos(\beta)} = tan(120° - \alpha)$

$tan(120° - \alpha) = \frac{tan(120°) - tan(\alpha)}{1 + tan(120°) tan(\alpha)} = \frac{sen(\beta)}{cos(\beta)}$

in cui:

$tan(120°) = -\sqrt{3}$

$tan(\alpha) = \frac{3}{4}$

 

$\frac{sen(\beta)}{cos(\beta)} = \frac{-\sqrt{3} - \frac{3}{4}}{1 - \frac{3 \sqrt{3}}{4}}$

$(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{4}) sen(\beta) = (-\sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{4}) cos(\beta)$

 

 

mi ricordo dell'identità fondamentale della goniometria:

$sen^2(x) + cos^2(x) = 1$

riscrivo $sen(\beta)$ come $\sqrt{1 - cos^2(\beta)}$

 

$(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{4}) (\sqrt{1 - cos^2(\beta)}) = (-\sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{4}) cos(\beta)$

 

elevo al quadrato entrambi i membri e ottengo:

 

$(\frac{43 - 24\sqrt{3}}{16}) (1 - cos^2(\beta)) = (\frac{57 + 24 \sqrt{3}}{16}) cos^2(\beta)$    $\longrightarrow$ $\frac{100}{16} cos^2(\beta) = \frac{43 - 24 \sqrt{3}}{16}$

 

da cui ricavo:

$cos^2(\beta) = \frac{43 - 24 \sqrt{3}}{100}$

 

Applico la radice quadrata ed ottengo:

$cos(\beta)$ $=$ $\frac{ \sqrt{43 - 24 \sqrt{3}}}{10}$

 

il termine al numeratore, sotto radice quadrata, si può riscrivere come :

$27 - 24\sqrt{3} + 16 = 9*(\sqrt{3})^2 - 24\sqrt{3} + 16 = (3\sqrt{3} -4)^2$

 

dunque $ cos(\beta) = \frac{3\sqrt{3} - 4}{10}$