Applicazione al teorema di Rolle.

Problema:

Stabilisci se l'equazione $\ln x +2x=0$ ammette una sola soluzione nell'intervallo $[\frac{1}{8}, 1]$.

Soluzione:

È certo che la funzione vive per $x>0$ per la condizione indotta dal logaritmo.

Per comprendere quante volte essa interseca l'asse delle ascisse, e dunque ammette soluzione $x$, è necessario studiare l'andamento della funzione associata all'equazione data.

$f(x)=\ln x +2x \implies f'(x)=\frac{1}{x}+2$.

La funzione è crescente quando $f'(x)≥0$, ossia quando $x \leq - \frac{1}{2} \cup x>0$. Data la condizione del logaritmo, essa è crescente solo per $x>0$.

Per avere soluzione, dunque, la funzione in un intorno di $0$ deve essere sotto l'asse delle ascisse.

$\lim_{x \to 0^+} f(x)=-\infty$

L'intervallo dato è però $[\frac{1}{8}, 1]$, quindi bisogna studiare l'intorno di $\frac{1}{8}$, se il valore è negativo, allora la soluzione è in tale intervallo.

$\lim_{x \to \frac{1}{8}^+} f(x)=-\ln 8 +\frac{1}{4}<0$.

Inoltre il passaggio per l'asse delle ascisse è confermato dal fatto che

$\lim_{x \to 1^-} f(x)=2>0$ visto che la funzione è continua.

Esiste dunque una soluzione nell'intervallo dato ed essa è unica dato che la funzione è strettamente crescente.