Antitrasformata di Laplace

Question

Salve a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio che mi richiede di trovare l'antitrasformata di Laplace di $\frac{s+2}{(s^2 + 1)*(s^2 + 16)}$

Ho pensato di riscriverla come se fosse il prodotto di due funzioni:

$\frac{1}{s^2 + 1}$*$\frac{s+2}{s^2 + 16}$

La prima è la trasformata del sen(t) mentre la seconda l'ho riscritta come la somma delle funzioni $\frac{s}{s^2 + 16}$ + $\frac{2}{s^2 + 16}$ che sono rispettivamente la trasformata del cos(4t) e di $\frac{1}{2}$sen(4t)

Il ragionamento è giusto? Se si qual è il metodo per risolvere l'esercizio?

Autore

Risposta

Stranglehold

(@stranglehold)

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Livello 3

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20 83 31

28/02/2021 18:59

EidosM · Accepted Answer

Se la decomponi come

(As + B)/(s^2 + 1) + (Cs + D)/(s^2 + 16)

ottieni

(As + B) (s^2 + 16) + (Cs + D)(s^2 + 1) = s + 2

As^3 + 16 As è Bs^2 + 16 B + Cs^3 + Cs + Ds^2 + D = s + 2

da cui il sistema

A + C = 0

B + D = 0

16 A + C = 1

16 B + D = 2

C = -A => 15 A = 1 => A = 1/15 e C = -1/15

D = -B => 15 B = 2 => B = 2/15 e D = -2/15

e devi antitrasformare

1/15 * [ (s+2)/(s^2 + 1) - (s+2)/(s^2 + 16) ]

che é facilmente decomponibile in seni e coseni, come hai fatto prima.

Mi sembra più semplice della convoluzione, non credi ?

EidosM

(@eidosm)

36910 punti

livello:

Livello 6

6734 Risposte
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28/02/2021 19:39

exProf · Answer

* (s + 2)/((s^2 + 1)*(s^2 + 16)) == (s + 2)/(15*(s^2 + 1)) - (s + 2)/(15*(s^2 + 16))------------------------------* invLaplace[(s + a)/(k*(s^2 + b^2))] == (a*sin(b*t) + b*cos(b*t))/(b*k)

[Risolto] Antitrasformata di Laplace

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