Angolo formato da curve, derivate

• Punti intersezione tra le due curve

Si tratta di risolvere il sistema composto dalle equazioni delle due curve

$ \begin{cases} y = e^{x^2-x} \\ y = e^{1-x^2} \end{cases} $

per confronto

$ e^{x^2-x} = e^{1-x^2} $

$ x^2-x = 1-x^2 $

$ 2x^2-x-1 = 0 $

Le cui due soluzioni sono:

1. $ x = -\frac{1}{2}$
2. $ x = 1$ questo è il candidato.

Calcoli preliminari

• $\phi(x) = e^{x^2-x}\; ⇒ \; \phi(1) =1$
  • $\phi'(x) = (2x-1) e^{x^2-x}  \; ⇒ \; \phi'(1) = 1 \; ⇒ \; tan(\theta) = 1$

L'angolo θ è l'angolo tra la retta tangente in x = 1 e l'asse delle ascisse

• $\psi(x) = e^{1-x^2} \; ⇒ \; \psi(1) = 1$
  • $\psi'(x) = -2xe^{1-x^2} \; ⇒ \; \psi(1) = -2 \; ⇒ \; tan(\xi) = -2$

L'angolo ξ è l'angolo tra la retta tangente in x = 1 e l'asse delle ascisse

Applichiamo la formula di sottrazione della tangente

$ tan(\xi - \theta) = \frac{tan(\xi) - tan(\theta)}{1+tan(\xi) \cdot tan(\theta)} $

$ tan(\xi - \theta) = \frac{-2 - 1}{1-2} = 3$

L'angolo corrispondente è dato dalla 

$arctan3$