Algebra lineare - Teorema spettrale

Premessa: Le affermazioni si dimostrano tramite il Teorema di Sylvester, Teorema Spettrale e dipendenze teoriche; ergo mi limiterò a fornire la risposta e giustificarla rigorosamente riferendomi ad essi.

Domanda $1\,$.

Poiché 

\[A \in M_{3,3}(\mathbb{R}) \mid \lambda = 1 \quad \dim_{\mathbb{R}}{V_1} = m_a(1)\,.\]

Dato l'autospazio

\[V_1 = \{(x,y,z) \mid x - y = 0 \} \mid \dim_{\mathbb{R}}{V_1} = 2 \quad \text{bidimensionale}\]

\[\dim{V_1^{\perp} \in \mathbb{R}^3} = 1 \mid \lambda \neq 1\,.\]

Quindi è vera.

Per quanto detto

\[\dim_{\mathbb{R}}{V_1} = m_a(1) = 2 \neq 3\,;\]

quindi è falsa.

Per determinare se $(1,2,1)$ è autovettore tale che l'autovalore sia $1\,$, deve soddisfare l'equazione

\[x = y \:\Bigg|_{\substack{x = 1}}^{y = 2} \implies 1 = 2 \quad \text{impossibile}\,.\]

Quindi è falsa.

L'ultima affermazione è banalmente vera in quanto ogni matrice quadrata $3\times 3$ possiede $3$ autovettori ortogonali.

Domanda $2\,$.

Una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile tramite trasformazioni ortogonali; poiché $A$ è una matrice simmetrica, l'affermazione è falsa.

Poiché $A \in M_{3,3}^{+}(\mathbb{R})\,$, è diagonalizzabile da una matrice ortogonale. Tuttavia gli autovettori di $A$ formano una base ortogonale di $\mathbb{R}^3$\,; quindi è vera.

Per autovalori distinti:

\[A \in M_{3,3}^{+}(\mathbb{R}) \implies V_i \perp V_j \mid i,j = \{1,2,3\}_{\substack{i \neq j}}\]

quindi è vera.

\[\dim_{\mathbb{R}}{V_1} = m_g(\lambda) = 1 \mid \lambda = 1\,.\]

Quindi è vera.

Domanda $3\,$.

\[\forall u \in V_2\,, \forall w \in V_3\,, (u,w) = 0\,.\]

Poiché $A \in M_{3,3}^{+}(\mathbb{R})\,$, gli autospazi corrispondenti a differenti autovalori sono ortogonali; quindi è vera.

\[\dim_{\mathbb{R}}{V_1} + \dim_{\mathbb{R}}{V_2} = 3 \neq 2\,,\]

in quanto, poiché la matrice possiede autovalori $2$ e $3\,$, ed essendo gli unici, la loro molteplicità algebrica si somma a $3\,,$. Quindi è falsa in quanto se fosse vera, un autospazio dovrebbe avere dimensioni nulle, impossibile per matrici $3\times 3\,$.

Per una matrice $3\times 3$ con solo due autovalori distinti, almeno uno degli autovalori deve avere una molteplicità algebrica maggiore di $1$. Perché la matrice sia diagonalizzabile, la molteplicità geometrica di ciascun autovalore deve essere uguale alla sua molteplicità algebrica. Poiché la matrice è simmetrica e diagonalizzabile, ogni autovalore avrà la stessa molteplicità geometrica della sua molteplicità algebrica. Pertanto, questa affermazione è falsa perché implicherebbe una matrice non diagonalizzabile.

Poiché

\[\exists A \in M_{3,3}^{+}(\mathbb{R}) \implies \exists M \in GL(3, \mathbb{R}) \mid M^{-1}AM \quad \text{sia diagonale}\,,\]

dove $GL(n, \mathbb{K})$ è il gruppo generale lineare di Galois, insieme delle matrici invertibili.

Quindi è vera.

L'ultimo quesito prova farlo te, devi applicare fondamentalmente il Teorema Spettrale e dipendenze teoriche.