[Risolto] Aiutooo

Per determinare l'area S della regione finita di piano delimitata dal grafico della funzione "y = 2*x^2 - x - 3" e dall'asse x si deve riscrivere l'equazione della data parabola
* Γ ≡ y = 2*x^2 - x - 3 = 2*(x^2 - x/2 - 3/2)
nelle forme che consentono di rilevarne le proprietà geometriche e poi applicare il Teorema di Archimede per ottenere l'area del segmento parabolico retto (SPR) descritto in consegna.
Quindi i calcoli da fare sono come segue.
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A) Ricavare i valori delle proprietà geometriche.
* Γ ≡ y = 2*(x^2 - x/2 - 3/2) ≡
≡ y = 2*(x + 1)*(x - 3/2) ≡
≡ y = 2*(x - 1/4)^2 - 25/8
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* zeri: A(- 1, 0) oppure B(3/2, 0)
* vertice: V(1/4, - 25/8)
* corda = base del SPR: b = |AB| = xB - xA = 5/2
* altezza del SPR: h = |yV| = 25/8
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B) Rammentare il Teorema di Archimede: l'area del segmento parabolico vale quattro terzi di quella del triangolo con la stessa base e il terzo vertice nel punto di tangenza della parallela alla corda base; così, nel caso di SPR, l'area del segmento parabolico retto è due terzi dell'area del rettangolo circoscritto.
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C) RISPOSTA che soddisfà alla consegna di determinare l'area S della regione finita di piano delimitata dal grafico della funzione "y = 2*x^2 - x - 3" e dall'asse x
* S = (2/3)*b*h = (2/3)*(5/2)*25/8 = 125/24 = 5.208(3)
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D) RISPOSTA di verifica (con altri mezzi)
* S = - ∫ [x = - 1, 3/2] (2*x^2 - x - 3)*dx = 125/24
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=-%E2%88%AB%5Bx%3D-1%2C3%2F2%5D%282*x%5E2-x-3%29*dx

La regione di piano delimitata dall'equazione "e" dall'asse x?

I punti di intersezione tra funzione e asse sono:

$ 2x^2 -x -3 = 0$

$ x = -1$ e $ x = 3/2$

Dunque ci basta integrare:

$ \int_{-1}^{3/2} 2x^2 -x -3 dx = [\frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2}-3x]_{-1}^{3/2}= (\frac{2}{3}\frac{27}{8} - \frac{1}{2}\frac{9}{4} - 3\frac{3}{2}) - (-\frac{2}{3} -\frac{1}{2} +3)= \frac{9}{2} - \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + \frac{2}{3} +\frac{1}{2} -3 = -\frac{125}{24}$

Ovviamente l'area è

$A = + \frac{125}{24}$