[Risolto] Aiuto problema di matematica

x = profondità

x > 0

larghezza = x + 15

x + x + 15 + y <= 115

y = 100 - 2x é l'altezza

per essere y > 0, x deve essere minore di 50 cm

a) il volume é V(x) = x(x + 15)(100 - 2x) =

= (x^2 + 15x)(-2x + 100) =

= -2x^3 + 100x^2 - 30x^2 + 1500x =

= -2x^3 + 70x^2 + 1500x

Segno : se ci limitiamo allo studio per x > 0

il segno é positivo quando x + 15 e 100 - 2x sono concordi

x > 0 & x < 50 => 0 < x < 50 cm

Dal confronto diretto si ha

x = 25
v = -2*x^3+70*x^2+1500*x
v = 50000

x = 30
v = -2*x^3+70*x^2+1500*x
v = 54000

x = 35
v = -2*x^3+70*x^2+1500*x
v = 52500

il più alto fra i tre corrisponde a 30 cm

Per il grafico puoi prendere i valori

5,10,15,20,25,30,35,40,45

1) i 5 kg sono un dato irrilevante.
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2) dai dati rilevanti si trovano i valori
* {profondità x, larghezza x + 15, lunghezza 115 - (2*x + 15) = 2*(50 - x)}
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3) Quesito (a)
La funzione "volume in funzione della profondità" è
* y = f(x) = x*(x + 15)*2*(50 - x) ≡
≡ y = - 2*(x + 15)*x*(x - 50)
definita ovunque e con tre zeri per x in {- 15, 0, 50} che partizionano l'asse x in intervalli di segni costanti e alternati.
L'unica valutazione f(- 20) = 14000 > 0 basta a determinare tutti i segni
* per x < - 15, f(x) > 0
* per x = - 15, f(x) = 0
* per - 15 < x < 0, f(x) < 0
* per x = 0, f(x) = 0
* per 0 < x < 50, f(x) > 0
* per x = 50, f(x) = 0
* per x > 50, f(x) < 0
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4) Quesito (b2)
* f(25) = 50000
* f(30) = 54000 <=== massima capienza come da quesito
* f(~ 31.3) ~= 54200 <=== massima capienza assoluta
* f(35) = 52500
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5) Quesito (b1)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2Cy-70*x%5E2-1500*x%3D-2*x%5E3%5Dx%3D0to50