equazione dell'iperbole con retta tangente

Scrivi l'equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse Y che nel suo punto di coordinate(2, (rad quad 5)/2) ha per tangente la retta di equazione x-4(rad quad 5)y +8=0

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L'equazione dell'iperbole è:

x^2/a^2-y^2/b^2=-1

verifico che il punto assegnato P(2, √5/2) appartenga alla retta tangente e di conseguenza poi all'iperbole.

2 - 4·√5·(√5/2) + 8 = 0-------> 0 = 0 OK!

Semplifico la scrittura dell'iperbole nel seguente modo:

x^2/α - y^2/β = -1

Applico le formule di sdoppiamento con riferimento all'iperbole assegnata:

2·x/α - √5/2·y/β = -1

2·x/α - √5·y/(2·β) + 1 = 0    (*8)

16·x/α - 4·√5·y/β + 8 = 0

confronto il risultato con la retta data:  x - 4·√5·y + 8 = 0

Quindi ottengo:

{16/α = 1

{- 4·√5/β = - 4·√5

Quindi

α = 16 e β = 1

Iperbole è: x^2/16 - y^2 = -1

La generica iperbole con assi di simmetria paralleli a quelli coordinati ha
* equazione ((x - α)/a)^2 - ((y - β)/b)^2 = - 1
* pendenza m(x) = ± (b/a)*(x - α)/√(a^2 + (x - α)^2)
* centro C(α, β)
* semiassi (a, b)
* semidistanza focale c = √(a^2 + b^2)
* eccentricità e = c/(semiasse trasverso)
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La condizione d'avere i fuochi sull'asse y, quindi con semiasse trasverso b, vuol dire α = 0; da cui
* equazione (x/a)^2 - ((y - β)/b)^2 = - 1
* pendenza m(x) = ± (b/a)*x/√(a^2 + x^2)
* centro C(0, β)
* semiassi (a, b)
* semidistanza focale c = √(a^2 + b^2)
* eccentricità e = c/b
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La retta
* t ≡ x - (4*√5)*y + 8 = 0 ≡ y = (x + 8)/(4*√5)
ha pendenza
* m = 1/(4*√5)
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Per avere t come tangente in T(2, √5/2) occorre che l'iperbole passi per T con pendenza m.
* (a > 0) & (b > 0) & ((2/a)^2 - ((√5/2 - β)/b)^2 = - 1) & (± (b/a)*2/√(a^2 + 2^2) = 1/(4*√5)) ≡
≡ (a = - 2*√(2*(2 - (√5)*β))) & (b = √(β^2 - (9*√5/10)*β + 1)) & ((β < 2/√5) oppure (β > 3/√5))
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Tutte e sole le iperboli che soddisfanno ai requisiti hanno la forma
* Γ(β) ≡ (x/(- 2*√(2*(2 - (√5)*β))))^2 - ((y - β)/(√(β^2 - (9*√5/10)*β + 1)))^2 = - 1
e, fra di esse, spicca quella centrata nell'origine (β = 0)
* Γ(0) ≡ (x/(- 2*√(2*(2 - (√5)*0))))^2 - ((y - 0)/(√(0^2 - (9*√5/10)*0 + 1)))^2 = - 1 ≡
≡ (x/(- 4))^2 - y^2 = - 1 ≡
≡ x^2 - 16*y^2 + 16 = 0