Scrivi l’equazione della parabola avente il fuoco in F(4;-3/2) e per direttrice la retta Y= -5/2. Determina l’equazione della tangente t alla parabola nel suo punto A di ascissa sei. Individua il punto G simmetrico del punto F rispetto t e verifica che il triangolo FAG è isoscele e che il Piede dell’altezza condotto da A appartiene alla tangente nel vertice della parabola.
Grazie in anticipo a chi mi aiuta a risolverlo.
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Ciao. La parabola è ad asse verticale in quanto la direttrice ad esso perpendicolare è orizzontale di equazione: y=-5/2
Quindi la parabola ha equazione del tipo y=ax^2+bx+c
Per determinarla applichiamo la definizione (è inutile ripeterla!):
√((x - 4)^2 + (y + 3/2)^2) = ABS(y + 5/2)
elevo al quadrato:
(x - 4)^2 + (y + 3/2)^2 = (y + 5/2)^2
(x^2 - 8·x + 16) + (y^2 + 3·y + 9/4) = y^2 + 5·y + 25/4
Risolvo rispetto ad y:
y = x^2/2 - 4·x + 6
La tangente è in x=6, quindi determiniamo il punto di tangenza:
y = 6^2/2 - 4·6 + 6-------> y = 0--------->A(6,0)
Continuo dopo perché devo uscire.........
Riprendo.
Tramite le formule di sdoppiamento determino la retta tangente in A alla parabola trovata
(y + 0)/2 = 1/2·(6·x) - 4·(x + 6)/2 + 6
y/2 = x - 6---------> y = 2·x - 12
L'asse della parabola ha equazione: x = - b/(2·a)
x = - (-4)/(2·(1/2))-------> x = 4
Il vertice V ha ordinata:
y = 4^2/2 - 4·4 + 6------->y = -2
Quindi V(4,-2), la tangente in V ha equazione y=-2
Adesso sono stanco, forse riprendo più tardi. Ti lascio il grafico risolutivo del problema e la piccolaparte restante da risolvere ancora.
Ho fatto 30, facciamo 31.....
La retta perpendicolare alla tangente t ha coefficiente angolare m = - 1/2
Quella passante per F ha equazione:
y + 3/2 = - 1/2·(x - 4)-------->y = 1/2 - x/2
La metto a sistema con la tangente:
{y = 2·x - 12
{y = 1/2 - x/2
risolvo il sistema: [x = 5 ∧ y = -2]
Quindi termino G:
{5 = (x + 4)/2
{-2 = (y - 3/2)/2
essendo l'intersezione trovata il punto medio del segmento FG. Quindi:
{x = 6
{y = - 5/2 --------->G(6,-5/2)
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Genius III
