Come si risolve questo limite senza De L'Hopital e sviluppi in serie di Taylor?
lim-->0 sin^2(x)/log(1+3xtgx)
Ho pensato di sdoppiare il sin^2x in sinx * sin x e la tgx in sinx/cosx ma non riesco ad andare avanti.Vorrei ricondurlo al limite notevole di sinx/x o ln(1+x)/x. Come si fa?Mi sono bloccata.Grazie!Vi chiedo la gentilezza di non dare per scontati alcuni passaggi che per i più sono elementari.Grazie ancora!
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Livello 0
Ciao!
Ho usato il limiti notevoli dato che era la tecnica proposta da te.
Ricordati che nei limiti notevoli la $x$ può essere sostituita con una $f(x)$ a condizione che $f(x) \rightarrow 0$, cioè
$$\lim_{x \rightarrow 0 } \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$
vale anche se
$$\lim_{f(x) \rightarrow 0 } \frac{\sin(f(x))}{f(x)} = 1 $$
Motivo per cui ho usato, ad esempio $\frac{\sin(x^2)}{x^2} = 1$ oppure
$\frac{\log(1+3x\tan(x))}{3x\tan(x)} = 1$
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Livello 5
@pazzouomo Grazie mille per l'aiuto e per il suggerimento che ignoravo ovvero sinx/x = 1 è equivalente a sin (f(x))/f(x)=1. Mi rimane un dubbio : dire " seno al quadrato di x "è come dire "seno di x al quadrato" ? Cioè... sin^2x è uguale a sinx^2.Purtroppo non ho colpo d'occhio come te e mi perdo nei reciproci e in quello che si deve aggiungere e moltiplicare.Grazie mille!:)
ciao! No, non è la stessa cosa! Ma puoi scomporlo in $\sin(x) \sin(x)$ da cui $\frac{\sin(x) \sin(x)}{x \cdot x} $, per questo ho moltiplicato e diviso per $x^2$ (:
Ovviamente nel post ho sbagliato a scrivere, perché non usiamo $\frac{\sin(x^2)}{x^2}$.... ma la regola è valida lo stesso (:
@pazzouomo Grazie! Perche si moltiplica e divide per 1*x^2 e non direttamente per x^2? Inoltre sarebbe stato lo stesso se in questo passaggio avessi scritto così : log(1+3xtgx)/3xtgx * 3xtgx?
Ciao.
Io moltiplicherei sopra e sotto per $3x^2$
in modo che tu possa scrivere l'espressione come:
$\frac{1}{3}\frac{sin^2(x)}{x^2}*\frac{3x^2}{log(1+3xtan(x))}$
adesso sostituisci $tan(x)$ con $x$ (infinitesimi dello stesso ordine) e quindi ti torna:
$\frac{1}{3}\frac{sin^2(x)}{x^2}*\frac{3x^2}{log(1+3x^2)}$
Applicando i limiti notevoli sai che $\frac{sin^2(x)}{x^2}$ tende a 1, così come
$\frac{3x^2}{log(1+3x^2)}$ tende ad 1.
Pertanto ti rimane soltanto $\frac{1}{3}$
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Livello 9
@sebastiano Grazie mille per quest'altra strategia risolutiva.Perchè il 3x^2 prima di sin^2x/x^2 viene scritto come 1/3?Grazie!
perchè ho voluto mettere in evidenza il "diviso 3" e separare i "limiti notevoli". formalmente non cambia nulla, è una questione solo visiva 🙂
