[Risolto] Aiuto matematica

@ludovica12

Scrivo l'equazione della retta per un punto:

$y-y_P=m(x-x_P)$

in cui sostituisco le coordinate del punto assegnato:

$y-3=m(x+2)$

$y=mx+2m+3$

Tra le rette di questo fascio, bisogna trovare quella tangente all'ellisse. Quindi metto a sistema le due equazioni:

{$y=mx+2m+3$

{$9x^2+2y^2=54$

{$y=mx+2m+3$

{$9x^2+2(mx+2m+3)^2-54=0$

La seconda equazione diventa:

$9x^2+2(m^2x^2+4m^2+9+4m^2x+12m+6mx)-54=0$

$9x^2+2m^2x^2+8m^2+18+8m^2x+24m+12mx-54=0$

$(9+2m^2)x^2+(8m^2+12m)x+(8m^2+24m-36)=0$

Impongo la condizione di tangenza, ovvero discriminante nullo:

$\Delta=0$ --> $(8m^2+12m)^2-4(9+2m^2)(8m^2+24m-36)=0$

$64m^4+144m^2+192m^3+(-36-8m^2)(8m^2+24m-36)=0$

$64m^4+144m^2+192m^3-288m^2-864m+1296-64m^4-192m^3+288m^2=0$

$144m^2-864m+1296=0$

$m^2-6m+9=0$ --> $(m-3)^2=0$ --> m = 3

Sostituisco m nell'equazione del fascio:

$y=3x+2*3+3$

t: $y=3x+9$

Applicando le formule di sdoppiamento:

x² - > x0*x = - 2x

y² - > y0*y = 3y

si ricava l'equazione della retta tangente la conica nel punto. 

3x - y + 9 = 0

9·x^2 + 2·y^2 = 54

[-2, 3]

verifico:

9·(-2)^2 + 2·3^2 = 54------> 54 = 54 OK!

Formule di sdoppiamento:

9·(-2)·x + 2·3·y = 54-----> 6·y - 18·x = 54

y = 3·x + 9

A) Ottenere l'equazione della conica Γ in forma normale canonica
* Γ ≡ "9x^2 + 2y^2 = 54" ≡ 9*x^2 + 2*y^2 - 54 = 0
---------------
B) Calcolare per sdoppiamento la retta p, polare rispetto a Γ del polo P(- 2, 3)
* p ≡ 9*x*(- 2) + 2*y*3 - 54 = 0 ≡ y = 3*(x + 3)
---------------
C) Porre a sistema le equazioni di p e Γ
* p & Γ ≡ (y = 3*(x + 3)) & (9*x^2 + 2*y^2 - 54 = 0)
ha risolvente
* 9*x^2 + 2*(3*(x + 3))^2 - 54 = 0 ≡
≡ 27*(x + 2)^2 = 0
da cui l'unico punto comune doppio in P.
Quindi p è la retta tangente richiesta.
==============================
RIPASSO: Problema delle Tangenti, Retta Polare, Sdoppiamenti.
------------------------------
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla conica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciandone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
Se il punto P è interno alla conica Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se il punto P è sulla conica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se il punto P è esterno alla conica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.