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[Risolto] Aiuto Matematica

  

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Determina l'equazione delle tangenti alla circonferenza  x^2+y^2+8x+12=0  condotte da O (0,0)

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@ludovica12

Screenshot 20221020 105214

Possiamo determinare le rette tangenti alla conica sfruttando le proprietà geometriche della circonferenza. La retta tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio vettore nel punto di tangenza.

Impongo che la distanza del centro della circonferenza dal fascio di rette proprio, y= mx, avente centro in O sia uguale al raggio.

 

Riscrivo l'equazione della circonferenza:

(x+4)² + y² = 4

 

Quindi:

C= ( - 4,0)

R= 2

 

La distanza del punto C dal fascio di rette è:

d= |4*m| / radice (1 + m²)

 

Imponendo la condizione d= R si ricavano i valori di m:

16m² = 4(1+m²)

 

Da cui si ricava:

m1= - radice (3)/3

m2 = radice (3)/3

 

Sostituendo i valori del parametro nell'equazione del fascio, determino le due rette tangenti la conica dal punto 0

 

y= (radice (3)/3)*x

y= - (radice (3)/3)*x




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L'equazione della circonferenza è data già in forma normale canonica
* Γ ≡ x^2 + y^2 + 8*x + 12 = 0
e le si può direttamente applicare gli sdoppiamenti rispetto al polo nell'origine per ricavarne la retta polare p di O(0, 0)
* p ≡ x*0 + y*0 + 8*(x + 0)/2 + 12 = 0 ≡ x = - 3
che interseca Γ nei punti di tangenza, soluzioni di
* (x = - 3) & (x^2 + y^2 + 8*x + 12 = 0) ≡ T1(- 3, - √3) oppure T2(- 3, √3)
quindi le richieste tangenti sono le congiungenti
* OT1 ≡ y = + x/√3
* OT2 ≡ y = - x/√3

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