Determina l'equazione delle tangenti alla circonferenza x^2+y^2+8x+12=0 condotte da O (0,0)
Determina l'equazione delle tangenti alla circonferenza x^2+y^2+8x+12=0 condotte da O (0,0)
Possiamo determinare le rette tangenti alla conica sfruttando le proprietà geometriche della circonferenza. La retta tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio vettore nel punto di tangenza.
Impongo che la distanza del centro della circonferenza dal fascio di rette proprio, y= mx, avente centro in O sia uguale al raggio.
Riscrivo l'equazione della circonferenza:
(x+4)² + y² = 4
Quindi:
C= ( - 4,0)
R= 2
La distanza del punto C dal fascio di rette è:
d= |4*m| / radice (1 + m²)
Imponendo la condizione d= R si ricavano i valori di m:
16m² = 4(1+m²)
Da cui si ricava:
m1= - radice (3)/3
m2 = radice (3)/3
Sostituendo i valori del parametro nell'equazione del fascio, determino le due rette tangenti la conica dal punto 0
y= (radice (3)/3)*x
y= - (radice (3)/3)*x
L'equazione della circonferenza è data già in forma normale canonica
* Γ ≡ x^2 + y^2 + 8*x + 12 = 0
e le si può direttamente applicare gli sdoppiamenti rispetto al polo nell'origine per ricavarne la retta polare p di O(0, 0)
* p ≡ x*0 + y*0 + 8*(x + 0)/2 + 12 = 0 ≡ x = - 3
che interseca Γ nei punti di tangenza, soluzioni di
* (x = - 3) & (x^2 + y^2 + 8*x + 12 = 0) ≡ T1(- 3, - √3) oppure T2(- 3, √3)
quindi le richieste tangenti sono le congiungenti
* OT1 ≡ y = + x/√3
* OT2 ≡ y = - x/√3