[Risolto] Aiuto limiti matematica

$lim_{x \rightarrow 7^+} \frac{x+2}{7-x} = -\infty$

Scriviamo la definizione di limite nel caso di limite $-\infty$:

$\forall M>0, \exists I(x_0) tc \forall x \in I(x_0) \cap D : f(x) > M$

che in questo caso sarà:

$\forall M>0, \exists I(7^+) tc \forall x \in I(7^+) \cap D : \frac{x+2}{7-x} > M$

Verifichiamo dunque la disequazione finale per quali valori di x risulta vera:

$\frac{x+2}{7-x} > M$

Faccio il minimo comune multiplo, spostando la M dall'altro lato:

$\frac{x+2-M(7-x)}{7-x} > 0$

$\frac{x+2-7M+Mx}{7-x} > 0$

$\frac{x(1+M)+2-7M}{7-x} > 0$

Studiamo i segni della frazione:

Numeratore:

$x(1+M)+2-7M > 0 $

$x(1+M) > 7M-2$

$ x > \frac{7M-2}{M+1}$

Al denominatore:

$7-x > 0$

$x < 7$

Mettiamo tutto su un grafico. Nota che la frazione $\frac{7M-2}{M+1}$ è più piccola di 7: ad esempio prendendo M=1 ottieni $\frac{7-2}{1+1}= \frac{5}{2} < 7$. Quindi:

Chiamo F la frazione (per non sballare le linee del grafico):

___F___7____

----+++++++

++++++-----

Vediamo che la disequazione è positiva, dunque verificata, per $\frac{7M-2}{M+1} < x < 7$ che è proprio un intorno sinistro di 7 ($I^-(7)$).

Dunque il limite è verificato.

Noemi