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Legge dei periodi: terza legge di Keplero

Keplero fece molti tentativi per trovare una relazione
tra periodo di rivoluzione dei pianeti e distanza dal Sole e solo dopo molti anni, riuscì a determinare il legame
corretto in accordo con i dati sperimentali.

Per tutti i pianeti del Sistema Solare, il quadrato del periodo  di rivoluzione T è proporzionale al cubo

della distanza media R del pianeta dal Sole.   

T^2 / R^3 = costante;

oppure invertendo il rapporto,

R^3/ T^2  = costante; 

R è la distanza media dal Sole cioè

(Rmax + Rmin) / 2 = semiasse maggiore ” a ” dell’ellisse.

Con la legge di gravitazione di Newton si ricava la costante di Keplero per i pianeti del Sole.

F = G M m / R^2

F = m v^2 / R; forza centripeta;

v = 2 π R / T;

G M m / R^2 = m v^2 / R;

G M / R = v^2

G M / R = (2 π R)^2 /T^2;

G M / R^3 = 4 π^2 / T^2;

T^2 / R^3 = 4 π^2 / (G M);

R^3 / T^2 = G M /4 π^2; M = massa del Sole.

La legge vale anche per i satelliti della Terra, la Luna e i satelliti artificiali.

Per i satelliti della Terra , M = 5,973 * 10^24 kg;

Costante K = 6,67 * 10^-11 * 5,973 * 10^24 / (4 * 9,87);

K = 3,984 * 10^14 / 39,478 = 1,01 * 10^13  m^3 / s^2 ;

Satellite geostazionario:  T = 24 h = 86400 s;

R^3 / 86400^2 = 1,01 * 10^13

R^3 = 1,01 * 10^13 * 86400^2 = 7,533 * 10^22;

R = radicecubica(7,533 * 10^22) = 4,223 *10^7 m = 42230 * 10^3 m;

R = 42230 km dal centro della Terra;

sottraendo il raggio, dalla superficie, il satellite dista h = R - RTerra;

h = 42230 - 6380 = 35850 km; circa 36 000 km , dalla superficie.

v = 2 * 3,14 * 4,223 *10^7 / 86400 = 3071 m/s = 3,07 km/s;

velocità sull'orbita circolare di raggio R = 4,223 *10^7 m;

v = 3071 * 3,6 = 11000 km/h (circa).

1 h = 3600 s;

Se T = 12 h * 3600  = 43200 s;

R^3 = K * T^2;

R^3 = 1,01 * 10^13  * 43200^2;

R = radicecubica(1,885 * 10^22) = 2,66 * 10^7 m = 26600 * 10^3 m = 26600 km;

h = R - R terra = 26600 - 6380 = 20200 km circa.

@iper  ciao.

1)

Come si valida J. kepler partendo da Newton : 

detta g la gravità orbitale per una determinata condizione, si ha  :

g = M*G/r^2

dove : 

# M è la massa della Terra in kg

# G è la costante gravitazionale universale determinata da Cavendish

# r è la distanza in m tra i centri di massa della Terra e dell'oggetto orbitante

a sua volta g è pari a Vo^2/r (Vo essendo la velocità del corpo in orbita), pertanto possiamo riscrivere l'equazione di partenza nel seguente modo :

Vo^2/r = M*G/r^2

da cui 

Vo^2*r = M*G

...ma sappiamo che Vo è pari alla lunghezza dell'orbita divisa per il periodo  T che il corpo impiega a percorrerla, pertanto:

Vo = 2*π*r/T

Vo^2 =(2*π)^2 *r^2/T^2

(2*π)^2*r^2*r/T^2 = M*G

(2*π)^2*r^3 = M*G*T^2

a questo punto possiamo ricavarci una costante K (valida per tutti i corpi in orbita geostazionaria attorno alla terra), sapendo che T vale 24*3600 = 8,64*10^4 s 

K = 5,972*10^24*6,673*10^-11*8,64^2^10^8/(6,28318)^2 =7,535*10^22 m^3 (stranamente simile alla massa della Luna in kg)

...ed infine :

r^3 = K = 7,535*10^22 m^3

r = ³√7,535*10^22 = 4,224*10^7 m 

h = (4,224 - 0,637)*10^7 = 3,587*10^7 m (circa 35.900 km slm)

Vo = 6,28318*4,224*10^7 m/(8,64*10^4) s = 3.071,78 m/s

2)

T' = 12 h 

k' = K/4 = 1,884*10^22 m^3

r' = ³√1,884*10^22  = 2,661*10^7 m 

h' = (2,661-0,637)*10^7 = 2,024*10^7 m (circa 20.200 km slm)

Vo' = 2,661*10^7*6,28318/(4,32*10^4) = 3.870,26 m/s