[Risolto] Aiuto geometria analitica

Le rette
y = 3*x - 7
y = x + 1
y = - 2*x - 2
formano il triangolo ABC, ottusangolo in B, di vertici
* A(4, 5), B(- 1, 0), C(1, - 4)
e di area
* S(ABC) = 15
v. http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo#Formule_analitiche
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Il circumcentro K(4, 0) è l'unico punto del piano equidistante dai vertici e la comune distanza 5 è il circumraggio
* (x - 4)^2 + y^2 = 25
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Il minore degli archi AB è quello che interseca la semiretta y > 0, cioè
* ((x - 4)^2 + y^2 = 25) & (y > 0) & (- 1 <= x <= 4) ≡
≡ (y = √(- x^2 + 8*x + 9)) & (- 1 <= x <= 4)
quindi il punto P va cercato fra quelli con coordinate
* P(k, √(- k^2 + 8*k + 9)) & (- 1 <= k <= 4)
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L'area di PBC risulta
* S(PBC) = √((k + 1)*(4*√(- k^2 + 8*k + 9) + 3*k + 13))
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La condizione
* S(PBC) = (8/15)*S(ABC)
impone il vincolo
* √((k + 1)*(4*√(- k^2 + 8*k + 9) + 3*k + 13)) = (8/15)*15 ≡
≡ k = 1
da cui
* P(1, 4)

@lavale

Benvenuta. Nella parte scritta in grassetto ci manca qualcosa, anche perché l’arco AB non mi risulta il minore dei tre possibili. Comunque credo di avere capito. Allego quello che potrebbe essere utile.

Quindi metto a sistema a due  a due le equazioni: risolvo quindi 3 sistemi lineari ed ottengo:

A(4,5); B(-1,0); C(1,-4)

L'equidistanza del centro dai vertici del triangolo determina il centro D(4,0) della circonferenza. Il raggio vale r=5. L'area ABC la determino con il metodo dell'all'allacciamento delle scarpe:

(4,5)

(-1,0)

(1,-4)

(4,5)

A=1/2·ABS(4·0 + (-1)·(-4) + 1·5 - (4·(-4) + 1·0 + (-1)·5)) = 15

dovendo essere 8/15*A=8, l'area del triangolo PBC, l'unico punto P dell'arco AB deve essere P(1,4),

triangolo isoscele di base PC=8 ed altezza pari a 2.