Una piramide, avente area di base $\mathrm{B}$ e altezza $\mathrm{h}$, viene secata con un piano parallelo alla base, $\mathrm{Si}$ calcoli a quale distanza dal vertice si deve condurre tale piano, affinché il prisma che ha per basi la sezione di cui sopra e la sua proiezione ortogonale sul piano di base della piramide abbia volume massimo.
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Livello 0
@cristris in che senso la sezione "di cui sopra", per favore?
@cristris hai già fatto le detivate? ...sembra un problema di ottimo, se no lo svolgo in altro modo
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Livello 8
@gregorius Buongiorno, ero arrivato a impostare la funzione sfruttando Talete come ha fatto Lei, poi non sono riuscito a sviluppare la derivata. Posso chiederle come ha eliminato B, per favore? Le derivate le abbiamo appena accennate alla fine della quarta... saltando i limiti
B è una costante positiva che non influenza minimamente il segno della funzione, per tale ragione può essere omessa
@gregorius Ok, grazie mille
@gregorius 👍👌👍
Sia x l'incognita distanza dal vertice.
Il rapporto di similitudine 0 < k = x/h < 1 fra la piramide residua e quella data indica che "la sezione di cui sopra" è S = B*k^2 = B*(x/h)^2 e che quindi il volume V da massimizzare è
* V = f(x) = B*(h - x)*(x/h)^2 <= f(2*h/3) = 4*B*h/27
in quanto con
* f'(x) = (B/h^2)*(2*h*x - 3*x^2)
* f''(x) = (2*B/h^2)*(h - 3*x)
la condizione di massimo dà
* (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) & (0 < x < h) ≡
≡ ((x = 0) oppure (2*h/3)) & (x > h/3) & (0 < x < h) ≡
≡ (x = 2*h/3) & (x > h/3) ≡
≡ x = 2*h/3
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Genius I
@exprof 👍👌👍
Si tratta di trovare il prisma di volume massimo di figura.
Le aree di base B e B' sono in proporzione con i quadrati delle relative altezze delle due piramidi così ottenute:
Β/Β' = h^2/x^2
quindi:
Β' = Β·x^2/h^2
Con riferimento alla figura il volume V del prisma in esame si calcola :
V = Β·x^2/h^2·(h - x) = Β·x^2/h - Β·x^3/h^2
Quindi imponiamo le condizioni necessarie:
V' = dV/dx= 0
2·Β·x/h - 3·Β·x^2/h^2 = 0
Β·x·(2·h - 3·x)/h^2 = 0
Β·x·(2·h - 3·x) = 0----> x = 2·h/3 ∨ x = 0 ∨ Β = 0
Verifichiamo che per x = 2/3·h si ha un max:
V''= 2·Β/h - 6·Β·x/h^2---> V''=2·Β/h - 6·Β·(2/3·h)/h^2= - 2·Β/h<0
OK!!
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Genius III
@lucianop 👍👌👍++ per la figura chiarificatrice
graficamente ...
ove V è in PU a fronte di un'area di base e dell'altezza unitari della piramide
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Genius III
