[Risolto] Aiuto esercizio di matematica

Sia x l'incognita distanza dal vertice.
Il rapporto di similitudine 0 < k = x/h < 1 fra la piramide residua e quella data indica che "la sezione di cui sopra" è S = B*k^2 = B*(x/h)^2 e che quindi il volume V da massimizzare è
* V = f(x) = B*(h - x)*(x/h)^2 <= f(2*h/3) = 4*B*h/27
in quanto con
* f'(x) = (B/h^2)*(2*h*x - 3*x^2)
* f''(x) = (2*B/h^2)*(h - 3*x)
la condizione di massimo dà
* (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) & (0 < x < h) ≡
≡ ((x = 0) oppure (2*h/3)) & (x > h/3) & (0 < x < h) ≡
≡ (x = 2*h/3) & (x > h/3) ≡
≡ x = 2*h/3

Si tratta di trovare il prisma di volume massimo di figura.

Le aree di base B e B' sono in proporzione con i quadrati delle relative altezze delle due piramidi così ottenute:

Β/Β' = h^2/x^2

quindi:

Β' = Β·x^2/h^2

Con riferimento alla figura il volume V del prisma in esame si calcola :

V = Β·x^2/h^2·(h - x) = Β·x^2/h - Β·x^3/h^2

Quindi imponiamo le condizioni necessarie:

V' = dV/dx= 0

2·Β·x/h - 3·Β·x^2/h^2 = 0

Β·x·(2·h - 3·x)/h^2 = 0

Β·x·(2·h - 3·x) = 0----> x = 2·h/3 ∨ x = 0 ∨ Β = 0

Verifichiamo che per x = 2/3·h si ha un max:

V''= 2·Β/h - 6·Β·x/h^2---> V''=2·Β/h - 6·Β·(2/3·h)/h^2= - 2·Β/h<0

OK!!

graficamente ...

ove V è in PU a fronte di un'area di base e dell'altezza unitari della piramide