Aiuto esercizio analisi matematica

L'angolo relativo alla pendenza del grafico ( rispetto all'asse delle ascisse) in ciascun punto in cui la funzione ha valore a  si ricava in base al significato geometrico di derivata.

y = x^3 + 2·a·x^2 + a

Quindi si parte da:

a = x^3 + 2·a·x^2 + a---> x^3 + 2·a·x^2 = 0 si risolve e si ottengono i punti voluti

x^2·(x + 2·a) = 0-------> x = - 2·a ∨ x = 0

Quindi valutiamo la derivata della funzione in questi due punti che sappiamo essere pari alla pendenza della curva assegnata.

y'=dy/dx=3·x^2 + 4·a·x

f'(-2a)=3·(- 2·a)^2 + 4·a·(- 2·a)-----> 4·a^2 = m = TAN(α)

quindi: α = ATAN(4·a^2)

f'(0)=0 ------>     m=0      Quindi  α =0

Ad esempio per a = 1/2si ottiene la situazione di figura:

Benvenuto fra noi, nuovo membro Diego!
Se non hai ancora letto il
https://www.sosmatematica.it/regolamento/
del sito, leggilo: ti sarà utile, soprattutto là dove prescrive la trascrizione del testo degli esercizi (che sarebbe stata utile a me, invece di farmi lavorare con due windows aperte).
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La funzione in x, parametrica in a,
* f(x, a) = x^3 + 2*a*x^2 + a
ha valore a nelle ascisse delle radici dell'equazione
* f(x, a) = x^3 + 2*a*x^2 + a = a ≡
≡ (x + 2*a)*x^2 = 0 ≡
≡ (x = - 2*a) oppure (x = 0)
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Il grafico dell'equazione
* y = x^3 + 2*a*x^2 + a
ha pendenza
* y' = m(x, a) = 3*x^2 + 4*a*x = 3*(x + (4/3)*a)*x
e inclinazione
* θ(x, a) = arctg(3*x^2 + 4*a*x)
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Negli zeri di f(x, a) si hanno le seguenti inclinazioni.
* in x = - 2*a: arctg(3*(- 2*a)^2 + 4*a*(- 2*a)) = arctg(4*a^2)
* in x = 0: arctg(3*0^2 + 4*a*0) = arctg(0) = 0