[Risolto] area del quadrilatero formato dalla parabola

@fritz

Ciao e benvenuto/a. Un invito a leggere il:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

quindi un esercizio per post e possibilmente almeno accennare le proprie difficoltà nello svolgimento di esso.

Indica quale dei due vorresti risolvere e le tue difficoltà nel relativo svolgimento. Attendo risposta.

OK.

Per calcolare l'area del quadrilatero puoi procedere in molteplici modi: a me piace il metodo dell'allacciamento delle scarpe. Vediamo di risolvere il problema 5.

La parabola si annulla nei punti A e B. Quindi deve avere la forma:

y = a·(x + 2)·(x - 4) con a<0 perché rivolta verso il basso.

Passaggio per D(0,4)

4 = a·(0 + 2)·(0 - 4)-------> 4 = - 8·a----> a = - 1/2

equazione parabola: 

y = (- 1/2)·(x + 2)·(x - 4)-------> y = - x^2/2 + x + 4

a = - 1/2;  b = 1 ; c = 4

Il vertice della parabola sta sul suo asse:

x = - b/(2·a)----> x = - 1/(2·(- 1/2))----> x=1

y = - 1^2/2 + 1 + 4----> y = 9/2

A questo punto prendo un vertice qualsiasi, e metto in colonna gli altri, fino a chiudere il poligono nel vertice da cui sono partito:

[1, 9/2] 

[0, 4]

[-2, 0]

[4, 0]

[1, 9/2] 

Quindi:Area=1/2·ABS(1·4 + 0·0 - 2·0 + 4·9/2 - (1·0 + 4·0 - 2·4 + 0·9/2)) = 15

 

 

EX.6

Leggo dal grafico la retta:

y = m·x + q--------> y = 2/3·x - 2

La parabola è ad asse verticale la cui equazione è x = - b/(2·a), la parabola si scrive:

y = a·x^2 + b·x + c

Scrivo il sistema:

{asse parabola

{passaggio per V(2,1)

{passaggio per B(3,0)

quindi scrivo

{- b/(2·a) = 2

{1 = a·2^2 + b·2 + c

{0 = a·3^2 + b·3 + c

Quindi risolvo (ad es. per sostituzione) il sistema:

{b/a = -4

{4·a + 2·b + c = 1

{9·a + 3·b + c = 0

abbiamo soluzione:[a = -1 ∧ b = 4 ∧ c = -3]

quindi equazione della parabola che metto a sistema con la retta:

{y = - x^2 + 4·x - 3

{y = 2/3·x - 2

risolvo per sostituzione:

3·x^2 - 10·x + 3 = 0--------> x = 1/3 ∨ x = 3

y = 2/3·(1/3) - 2-----> y = - 16/9------->A(1/3,-16/9)

B(3,0)

con Pitagora:

d = √((3 - 1/3)^2 + (0 + 16/9)^2)= 8·√13/9