[Risolto] Disequazione 2° grado

$$\frac{(x-4)^2}{3} +\frac{5(x^2+2)}{6} \geq \frac{(2x-1)^2}{4}$$

Facciamo le operazioni ai numeratori

$\frac{x^2+16-8x}{3} +\frac{5x^2+10}{6} \geq \frac{4x^2+1-4x}{4}$

Facciamo il minimo comune multiplo, che è $12$:

$\frac{4(x^2+16-8x)+ 2(5x^2+10)}{12} \geq \frac{3(4x^2+1-4x)}{12}$

liberiamoci del denominatore e svolgiamo i conti ai numeratori:

$4x^2+64-32x+10x^2+20 \geq 12x^2+3-12 x $

$2x^2 -20x  + 83 \geq 0 $

Calcoliamo le soluzioni della equazione associata:

$\Delta = 20^2 -4(2)(83) = 400 -664 < 0 \Rightarrow $ non ci sono soluzioni dell'equazione associata

$\Rightarrow$ La disequazione è vera $\forall x \in \mathbb{R}$