Aiuto diseq. con valori assoluti

@maurizio

Ciao. La soluzione della disequazione proposta:

ABS(2·x - 4) + ABS(x + 1) - 3·x + 1 > 0

non è quella che hai dato, ma: x < 3/2

Quindi:

ABS(2·x - 4) = 2·x - 4 se x ≥ 2

ABS(2·x - 4) = 4 - 2·x se x<2

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ABS(x + 1) = x + 1 se x ≥ -1

ABS(x + 1) = - (x + 1) se x<-1

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1° sistema:

{(4 - 2·x) - (x + 1) - 3·x + 1 > 0

{x < -1

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2° sistema:

{(4 - 2·x) + (x + 1) - 3·x + 1 > 0

{-1 ≤ x < 2

-----------------------------------

3° sistema:

{(2·x - 4) + (x + 1) - 3·x + 1 > 0

{x ≥ 2

--------------------------------------

Quindi:

1° sistema:

{x < 2/3

{x < -1    soluzione: x<-1

2° sistema:

{x < 3/2

{-1 ≤ x < 2  soluzione : -1 ≤ x <3/2

3° sistema:

{-2 > 0 IMPOSSIBILE

{x ≥ 2 Soluzione impossibile

Quindi:

x < -1 ∨ -1 ≤ x < 3/2----------> x < 3/2

 

Non posso dirti dove stai sbagliando perché non ho capito una ceppa di ciò che hai scritto ("i tre sistemi", "non accettabile", ...), meno male che @LucianoP t'ha capito e ha sviluppato il tuo procedimento.
Poi però ho visto il commento "poco cambia, sono comunque in difficoltà" e ho immaginato che la difficoltà consista proprio in quel procedimento.
Così penso che possa esserti utile sostituire l'elegante procedimento da matemetico con una procedura sicuramente più rozza (da ingegnere), ma col pregio di essere pedissequa e di condurti dall'inizio alla fine senza dover decidere nulla: basta seguire le istruzioni.
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I diversi casi nelle dis/equazioni con i moduli abs(f(x)) o |f(x)| sono essenzialmente tre. Il trattamento vale in generale per ogni forma di funzione f(x).
1) Si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
1a) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
1b) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) oppure (a = + b) [unione]
1c) |a| >= b ≡ (a <= - b) oppure (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
2) Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}.
Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
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A) Si inizia con un caso "1c" stretto con (a = x - 2) & (b = - (|x + 1| - 3*x + 1)/2)
* 2*|x - 2| + |x + 1| - 3*x + 1 > 0 ≡
≡ |x - 2| > - (|x + 1| - 3*x + 1)/2 ≡
≡ (x - 2 < (|x + 1| - 3*x + 1)/2) oppure (- (|x + 1| - 3*x + 1)/2 < x - 2)
Le due sdoppiate si trattano separatamente e alla fine si uniscono i risultati.
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B1) x - 2 < (|x + 1| - 3*x + 1)/2 ≡
≡ |x + 1| > 5*x - 5 ≡
≡ (x + 1 < 5 - 5*x) oppure (5*x - 5 < x + 1) ≡
≡ (x < 2/3) oppure (x < 3/2) ≡
≡ x < 3/2
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B2) - (|x + 1| - 3*x + 1)/2 < x - 2 ≡
≡ - (|x + 1| - 3*x + 1)/2 < x - 2 ≡
≡ x + 1 > x + 3 ≡
≡ Ø (insieme vuoto)
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C) 2*|x - 2| + |x + 1| - 3*x + 1 > 0 ≡
≡ (x - 2 < (|x + 1| - 3*x + 1)/2) oppure (- (|x + 1| - 3*x + 1)/2 < x - 2) ≡
≡ (x < 3/2) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ x < 3/2