Non riesco a trovare la derivata di questa funzione
$$ v(t)=\frac{A}{(1+(\frac{At}{c})^{2})^{\frac{3}{2}}}$$
qualcuno potrebbe aiutarmi? 🙄
Non riesco a trovare la derivata di questa funzione
$$ v(t)=\frac{A}{(1+(\frac{At}{c})^{2})^{\frac{3}{2}}}$$
qualcuno potrebbe aiutarmi? 🙄
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Livello 0
Rendiamo la funzione positiva al fine di applicare la derivata logaritmica.
Consideriamo la funzione ausiliaria così definita
ψ(t) := 1/[1+(At/c)²]³/²
per cui v(t) = A*ψ(t)
1. Applichiamo il logaritmo ad ambo i membri
log(ψ) = log{1/[1+(At/c)²]³/²}
2. Deriviamo
d(logψ)/dt = d/dt log{1/[1+(At/c)²]³/²} = d/dt -log{[1+(At/c)²]³/²} = d/dt -(3/2)log[1+(At/c)²]
Applichiamo la derivata di funzioni composte (chain rule)
ψ'/ψ = -(3/2)*1/[1+(At/c)²] * (A/c)² * 2t
ψ'/ψ = -3 A²t / {c²[1+(At/c)²]
ψ' = ψ * (-3 A²t) / {c²[1+(At/c)²]}
ψ' = -3A²t /{c²[1+(At/c)⁵/²]}
3. Ricostruiamo la funzione velocità
dv(t)/dt = A*ψ' = -3A³t /{c²[1+(At/c)⁵/²]}
NB. Nell'ipotesi che A sia positivo o al più nullo si possono eliminare alcuni passaggi.
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Livello 1
Puoi applicare la regola di derivazione di 1/f(t), che ti restituisce -f'(t)/f(t)^2
16219
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Livello 9
ho provato a fare questo come
$$v(t)=A(1+\frac{A^{2}t^{2}}{c^{2}})^{-\frac{3}{2}}$$
quindi come derivazione di una funziona composta del tipo
$$D[f(x)]^{a}=a[f(x)]^{a-1}f'(x)$$
quindi ottengo
$$v'(t)= -\frac{3}{2}A(1+\frac{A^{2}t^{2}}{c^{2}})^{-\frac{5}{2}}(\frac{1}{c^{2}}2A^{2}t)$$
è giusta?
Si, va bene.