Un fuso sferico di angolo $\alpha=\frac{\pi}{4}$ è equivalente a una calotta appartenente alla stessa sfera e con raggio di base $r=\sqrt{7} \mathrm{~cm}$. Calcola il raggio $R$ della sfera sapendo che è maggiore dell'altezza della calotta.
[4 cm]
Chiedo umilmente aiuto per questo esercizio (207)
18
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Livello 0
La superficie di un fuso sferico è quella definita in figura seguente:
Quindi conoscendo l'angolo: α = pi/4, rappresenta parte della sfera avente superficie pari a:
s = 4·pi·r^2
Quindi il rapporto fra le due superfici è pari a:
2·pi/(pi/4) = 8
Ne consegue che la superficie del fuso sferico è pari a: Σ = 4·pi·r^2/8
La superficie di una calotta sferica:
è pari a: S = 2·pi·r·h con h = r - √(r^2 - a^2) ed a = √7 cm (dato del testo)
Quindi la superficie della calotta sferica è pari a:
S = 2·pi·r·(r - √(r^2 - 7))
Quindi si dovrà scrivere: S = Σ
2·pi·r·(r - √(r^2 - 7)) = pi·r^2/2
risolvendo si ottiene: r = 4 ∨ r = 0
quindi r = 4 cm
77414
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Genius II
area fuso sferico Afs = π*r^2*4/8 = π*r^2/2
area calotta sferica Acs = π*(m^2+h^2)....con m = √7
poiché m^2 = r^2-(r^2+h^2-2rh) = r^2-r^2-h^2+2rh = 2rh-h^2
....si ha
Acs = π*(2rh-h^2+h^2) = 2πrh
...ed infine
π*r^2/2 = 2πrh
r = 4h
7 = 2r*r/4-r^2/16
7 = r^2/2-r^2/16
7 = (8r^2-r^2)/16
16*7 = 7r^2
r = √16 = 4 cm
96773
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Genius II
