Scrivi le equazioni delle parabole aventi per direttrice la retta di equazione $y=-\frac{5}{4}$, passanti per i punti $A(0,-1)$ e $B(1,0)$.
$$
\left[y=x^2-1 ; y=2 x^2-x-1\right]
$$
Scrivi le equazioni delle parabole aventi per direttrice la retta di equazione $y=-\frac{5}{4}$, passanti per i punti $A(0,-1)$ e $B(1,0)$.
$$
\left[y=x^2-1 ; y=2 x^2-x-1\right]
$$
15
punti
Livello 0
Che la direttrice
* d ≡ y = - 5/4
sia parallela all'asse x vuol dire che l'asse di simmetria è parallelo all'asse y e l'equazione è
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
dove
* l'apertura è a != 0
* il vertice è V(w, h)
* la distanza focale è f = |VF| = |Vd| = 1/(4*|a|)
* il fuoco è F(w, h + 1/(4*a))
* la direttrice è d ≡ y = h - 1/(4*a) = - 5/4
quindi
* h = (1 - 5*a)/(4*a)
* V(w, (1 - 5*a)/(4*a))
* Γ ≡ y = (1 - 5*a)/(4*a) + a*(x - w)^2
---------------
Il sistema fra h e i vincoli d'appartenenza dei punti prescritti
* A(0, - 1): - 1 = (1 - 5*a)/(4*a) + a*(0 - w)^2 ≡ 4*(a*w)^2 - a + 1 = 0
* B(1, 0): 0 = (1 - 5*a)/(4*a) + a*(1 - w)^2 ≡ 4*(a*w)^2 - 8*a*(a*w) + 4*(a - 1/4)*(a - 1) = 0
* (h = (1 - 5*a)/(4*a)) & (4*(a*w)^2 - a + 1 = 0) & (4*(a*w)^2 - 8*a*(a*w) + 4*(a - 1/4)*(a - 1) = 0) ≡
≡ (w = 0) & (h = - 1) & (a = 1) oppure (w = 1/4) & (h = - 9/8) & (a = 2)
determina
* Γ1 ≡ y = x^2 - 1
* Γ2 ≡ y = 2*x^2 - x - 1
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dx%5E2-1%2Cy%3D2*x%5E2-x-1%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3Dx%5E2-1+directrix
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3D2*x%5E2-x-1+directrix
57798
punti
Genius I
