La stella più vicina alla Terra, Proxima Centauri, si trova a 4,2 anni-luce. Un astronauta parte dalla stella per raggiungere la Terra a bordo di un'astronave con velocità $\mathrm{c} / 2$.
- Quanto tempo impiega un raggio di luce proveniente da Proxima Centauri a raggiungere la Terra?
- Quale è la distanza fra la stella e la Terra nel SRI dell'astronave?
- Quanto tempo impiega l'astronauta a raggiungere la Terra secondo l'orologio della sua astronave?
[4,2 a; 3,6 a.l.; 7,3 al]
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Livello 0
v = c/2;
v^2 = c^2/4;
(Delta L)' = Delta L * radice(1 - v^2/c^2);
radice(1 - v2/c^2) = radice[1 - c^2/(4c^2)];
radice(1 - 1/4) = radice(0,75) = 0,866;
Dall'astronave si vede la distanza contratta:
(Delta L)' = 4.2 * 0,866 = 3,64 a.l.; (distanza contratta;
t = Spazio /velocità;
Spazio = 3,64 * c; dividendo per v = c/2 troveremo il tempo in anni.
t = (3,64 * c )/ (c/2) = 2 * 3,64 = 7,28 anni; (Tempo sull'astronave).
Ciao @marco_curci
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Genius I
viste dall'astronave
distanza d' = d*√1-v^2/c^2 = d√1-c^2/(4c^2) = d√3 /2
tempo t = d'c/(c/2) = 2d' = d√3 = 4,2*1,732 = 7,274 anni
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Genius II
a) Il raggio di luce impiega 4,2 anni a raggiungere la Terra.
b) La distanza tra la Terra e Proxima Centauri appare contratta:
$$
\begin{gathered}
\Delta x^{\prime}=\frac{\Delta x}{\gamma} \\
\Delta x^{\prime}=(4,2 \text { a.l. }) \cdot \sqrt{1-\beta^2}
\end{gathered}
$$
con
$$
\beta=\frac{v}{c}=\frac{\frac{c}{2}}{c}=\frac{1}{2}
$$
$$
\Delta x^{\prime}=(4,2 \text { a.l. }) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2,1 \cdot \sqrt{3} \text { a.l. }=3,6 \text { a.l. }
$$
c) Il tempo necessario è:
$$
\Delta t=\frac{\Delta x^{\prime}}{v}=\frac{2,1 \cdot \sqrt{3} a l}{\frac{c}{2}}=7,3 a
$$
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Livello 1
