[Risolto] Aiutatemi nella risoluzione di questo esercizio

(k + 1)·x - 3·y + 2 = 0 : retta r

y = (4·x + 1)/3---> 3·y = 4·x + 1

4·x - 3·y + 1 = 0 : retta s

(k + 1)/4 = - 3/(-3) parallele

(k + 1)/4 = 1---> k = 3

(k + 1)·4 + (-3)·(-3) = 0 perpendicolari

4·k + 13 = 0----> k = - 13/4

Ultimo punto:

y = (4·5 + 1)/3---> y = 7

La retta r deve passare per [5, 7]

(k + 1)·5 - 3·7 + 2 = 0----> 5·k - 14 = 0

quindi: k = 14/5

Pubblico questa risposta in due esercizi IDENTICI che tu (non vedendone l'identità?) hai pubblicato separatamente ai link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/130431/ esercizio 19
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/130432/ esercizio 17
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Ti scrivo lo svolgimento in astratto e non con gli specifici dati dei due esercizi perché, come t'ho scritto in un paio di risposte ieri sera, mi irrita assai dover fare multipli Copia/Incolla a menù di cose che avresti potuto benissimo scrivere tu da tastiera invece che con LaTeχ.
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In entrambi è dato un fascio di rette che ha parametrico il solo coefficiente di x
17) (k - 1)*x + 3*y - 2 = 0 ≡ (k = 1) & (y = 2/3) oppure (k != 1) & (y = (2 - (k - 1)*x)/3)
19) (k + 1)*x - 3*y + 2 = 0 ≡ (k = - 1) & (y = 2/3) oppure (k != - 1) & (y = (2 - (k + 1)*x)/3)
e vi si chiede di determinare i valori del parametro k in modo che la retta corrispondente:
a) passi per un punto P(u, v) assegnato;
b) sia parallela a una retta a*x + b*y + c = 0 assegnata;
c) sia perpendicolare a una retta a*x + b*y + c = 0 assegnata.
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Per risolvere questi problemi occorre e basta rammentare e applicare le tre definizioni.
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Appartenenza: il punto P(u, v) è sul grafico di f(x, y) = 0 se e solo se f(u, v) = 0.
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Parallelismo: due rette sono parallele se e solo se
* hanno entrambe la forma x = costante (parallele all'asse y)
* hanno entrambe la forma y = costante (parallele all'asse x)
* hanno entrambe la forma y = m*x + costante (con la stessa pendenza m)
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Ortogonalità: due rette sono perpendicolari se e solo se
* hanno una la forma x = costante e l'altra la forma y = costante
* hanno una la forma y = m*x + q e l'altra la forma y = y = m'*x + p (con pendenze antinverse m' = - 1/m)
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) passi per un punto P(u, v) assegnato
a1) (u = 0) & (v != 2/3) ≡ ∄ k ∈ R
a2) (u = 0) & (v = 2/3)
* 17: k = 1
* 19: k = - 1
a3) (u != 0)
* 17: v = (2 - (k - 1)*u)/3 ≡ k = (2 + u - 3*v)/u
* 19: v = (2 - (k + 1)*u)/3 ≡ k = (2 - u - 3*v)/u
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b) sia parallela a una retta a*x + b*y + c = 0 assegnata
* a*x + b*y + c = 0 ≡ (b = 0) & (x = - c/a) oppure (b != 0) & (y = - (a/b)*x - c/b)
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b1) b = 0 → ∄ k ∈ R, né per 17 né per 19: il tre di "3*y" non può azzerarsi.
b2) (b != 0) & (a = 0) & (y = - c/b != 2/3) → ∄ k ∈ R, né per 17 né per 19.
b3) (a*b != 0) & (m = - a/b)
* 17: (1 - k)/3 = - a/b ≡ k = 3*a/b + 1
* 19: - (k + 1)/3 = - a/b ≡ k = 3*a/b - 1
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c) sia perpendicolare a una retta a*x + b*y + c = 0 assegnata
* a*x + b*y + c = 0 ≡ (b = 0) & (x = - c/a) oppure (b != 0) & (y = - (a/b)*x - c/b)
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c1) b = 0
* 17: k = 1
* 19: k = - 1
c2) (b != 0) & (a = 0) → ∄ k ∈ R, né per 17 né per 19: la pendenza m' = b/a è indefinita.
b3) (a*b != 0) & (m = - a/b) & (m' = b/a)
* 17: (1 - k)/3 = b/a ≡ k = 1 - 3*b/a
* 19: - (k + 1)/3 = b/a ≡ k = - 1 - 3*b/a