[Risolto] accelerazione angolare 31

In figura, il blocco 1 ha massa m = 460 g. il blocco 2 ha massa m, = 500 g e la
puleggia, che è montata su un asse orizzontale con attrito trascurabile, ha raggio r = 5,00 cm. Quando viene rilasciato a partire da ferma, il blocco 2 cade di 75,0 cm in 5,00 s senza che il cavo scivoli sulla puleggia.

(a) Qual è l'accelerazione dei blocchi?

2h = a*t^2

accel. a = 1,5/5^2 = 3/50 = 0,06 m/sec^2 

Quanto valgono :

(b) la tensione T2

T2 = m2(g-a) = 0,50*(9,806-0,06) = 4,873 N

(c) la tensione T1

T1= m1(g+a) = 0,46*(9,806*0,06) = 4,538 N 

(d) Quanto vale l'accelerazione angolare α della puleggia?

α = a/r = 0,06 m/sec^2 / 0,05 m = 0,30*20 = 1,20 rad/sec^2

(e) Qual è il suo momento d'inerzia Ip ?

0,06 = g(m2-m1)/(m1+m2+mpe)

0,06 mpe = 9,806*(0,50-0,46)-0,06*0,96

massa equivalente puleggia mpe = (9,806*(0,50-0,46)-0,06*0,96)/0,06 = 5,577 kg

massa puleggia mp = 2*mpe = 11,15 kg

Ip = mp/2*rp^2 = 5,577*25*10^-4 = 0,0139 kg*m^2

Dalla legge oraria del moto uniformemente accelerato ricavo l'accelerazione del sistema:

S=(1/2)*a*t²

a= (2S)/t² = 2*0,75/25 = 0,06 m/s²

L'accelerazione angolare della puleggia è data dal rapporto tra l'accelerazione tangenziale ed il raggio. Negativa perché la puleggia ruota in senso orario 

alfa= - a/R = - 0,06/0,05 = - 1,2 rad/s²

Dalla dinamica traslazionale:

{P2-T2 = m2*a

{T1-P1 = m1*a

Ricavo quindi le due tensioni:

T2 = 0,5*(g-a) = 4,87 N

T1 = 0,46*(g+a) = 4,54 N

Dalla dinamica rotazionale [il disco ruota in senso orario, quindi alfa= - (a/R)]

Momento positivo generato da T1 (rotazione antioraria del raggio vettore), momento negativo generato da T2

{(T1-T2)*R = I*alfa = I*(-a/R) 

Quindi il momento d'inerzia della carrucola è:

I = [(T2-T1)*R²] /a = 0,01375 [kg*m²] 

Moto accelerato:

S = 0,75 m;  t = 5,00 s;

S = 1/2 a t^2;

a = 2 * S / t^2 = 2 * 0,75 / 5,00^2;

a = 0,06 m/s^2;

Sul corpo 2: scende con accelerazione a, agisce il peso m2 * g; T2 lo frena verso l'alto.

m2g - T2 = m2 a;

T2 = m2 g - m2 a = 0,500 * (9,8 - 0,06);

T2 = 0,500 * 9,74 = 4,87 N; (tensione su m2);

Sul corpo 1: sale con accelerazione a, T1 è verso l'alto lo tira verso l'alto, il peso m1 * g verso il basso, lo frena nella salita.

T1 - m1 * g = m1 * a;

T1 = m1* (g + a) = 0,460 * (9,8 + 0,06) = 4,54 N; (tensione su m1);

r puleggia = 5,00 cm = 0,05 m

Momento M = I * alfa; momento risultante sulla puleggia: la puleggia ruota in senso orario.

alfa = a / r = 0,06 / 0,05 = 1,2 rad/s, (accelerazione angolare della puleggia);

M = r * T2  - r * T1  = r * (T2 - T1) =0,05 * (4,87 - 4,54);

M = 0,05 * 0,33 = 0,017 Nm;

I = M / alfa = 0,017 / 1,2 = 0,014 kg/m^2;momento d'inerzia della puleggia

Ciao @antogiu