[Risolto] Ellisse

Metto a sistema i due luoghi geometrici:

{x^2 + 4·y^2 = 20

{y = x + q

Per determinare le equazioni dei lati del quadrato paralleli alla bisettrice del 1° e 3° quadrante.

Procedo per sostituzione

x^2 + 4·(x + q)^2 = 20---> x^2 + 4·(x + q)^2 - 20 = 0

quindi: 5·x^2 + 8·q·x + 4·q^2 - 20 = 0

impongo la condizione di tangenza:

Δ/4 = 0----> (4·q)^2 - 5·(4·q^2 - 20) = 0---> 100 - 4·q^2 = 0----> q = -5 ∨ q = 5

Quindi ottengo:

y = x - 5 ; y = x + 5

Analogamente avrei ottenuto:  y = -x - 5 e y = -x - 5

Il perimetro del quadrato così tangente all'ellisse vale.

2p=4·(√2·5) = 20·√2

Due dei lati del quadrato appartengono al fascio di rette improprio parallelo alla bisettrice del primo e terzo quadrante. 

Due lati appartengono al fascio di rette improprio parallelo alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. 

{y=x+q

{x²+4y²=20

Sostituendo la prima equazione nella seconda si ricava:

x²+4(x+q)² = 20

Da cui si ricava, imponendo la condizione di tangenza:

16q² - 20q² + 10 = 0

q= ±5

Il lato del quadrato è quindi

L=5*radice (2) => 2p = 20*radice (2)

L'ellisse
* Γ ≡ x^2 + 4*y^2 = 20 ≡
≡ x^2/20 + y^2/5 = 1 ≡
≡ (x/(2*√5))^2 + (y/√5)^2 = 1
è riferita ai proprii assi, con fuochi sull'asse x (2*√5 > √5) e vertici
* sull'asse maggiore V(± 2*√5, 0)
* sull'asse minore V(0, ± √5)
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Ogni quadrato con vertici sugli assi cartesiani ha le diagonali su di essi, i vertici AC(0, ± k) e BD(± k, 0), e i lati sulle rette y = ± (x - k) e y = ± (x + k)
* AB ≡ y = y = x - k
* BC ≡ y = y = k - x
* CD ≡ y = y = x + k
* DA ≡ y = y = - k - x
che scompongono la quartica
* Q ≡ (x^2 - y^2)^2 - 2*(k^2)*(x^2 + y^2) + k^4 = 0
Per la consegna: ha lato L = k*√2 e
* PERIMETRO = 4*L = (4*√2)*k
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Stante la simmetria quadrantale di entrambe le figure il parametro si determina con una sola condizione di tangenza. Il sistema
* AB & Γ ≡ (y = x - k) & ((x/(2*√5))^2 + (y/√5)^2 = 1)
ha risolvente
* x^2 - (8*k/5)*x + (4/5)*(k^2 - 5) = 0
con discriminante, che per la tangenza deve azzerarsi,
* Δ(k) = - (16/25 )*(k + 5)*(k - 5) = 0 ≡ k = ± 5
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NE SEGUONO
* perimetro = (4*√2)*5 = 20*√2 ~= 28.28
* Q ≡ (x^2 - y^2)^2 - 50*(x^2 + y^2) + 625 = 0
Punti di tangenza: T(± 4, ± 1)
Grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%5E2-y%5E2%29%5E2-50*%28x%5E2--y%5E2%29%3D-625%2Cx%5E2-20%3D-4*y%5E2%5Dx%3D-6to6%2Cy%3D-6to6