"... CHIEDO ... DI PROCEDERE IN MODO SEMPLICE ..."
è una domanda che mi pone in grave imbarazzo; io racconto un argomento (che sia Cappuccetto Rosso o le definizioni di dominio e codominio) nel modo che sembra più semplice a me, ma non posso avere la minima idea del "se e quanto" possa riuscire semplice a chi mi legge: se fossi in classe e raccontassi a voce cercherei di leggere espressioni e micromovimenti degli ascoltatori e potrei interpellare gl'irrequieti sui singoli punti.
PER ISCRITTO NON C'E' MODO D'AVERE UN FEEDBACK: FARO' DEL MIO MEGLIO (a costo di prolissità pallose e irritanti).
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CONCETTI E NOMENCLATURA
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1) Funzione
Una qualsiasi legge (empirica, analitica, algoritmica) che definisca uno e un solo valore (d'uscita) di una variabile (detta dipendente) in base ai valori (d'ingresso) d'un numero finito d'altre variabili (dette indipendenti, o argomenti).
Nel caso in esame, una legge analitica che definisce uno e un solo valore della variabile y in base al valore della sola variabile x.
La proprietà caratterizzante è: UNO E UN SOLO VALORE.
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2) Funzione con valore assoluto
"valore assoluto" o "modulo" è il nome di una particolare funzione di un solo argomento, indicata con "abs(argomento)" o "|argomento|", che è una legge algoritmica: se argomento è negativo vale il suo opposto, altrimenti vale argomento.
"argomento" può essere direttamente un valore dato, ma quasi sempre è il valore di una variabile o di una qualsiasi funzione.
La proprietà caratterizzante di una funzione con valori assoluti è: fra le sue subespressioni c'è ALMENO UN MODULO.
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3) Grafico di Funzione
Limitatamente alle funzioni di una sola variabile, y = f(x), è l'insieme di punti che in un riferimento cartesiano Oxy rappresenta il valore di y (se esiste!) corrispondente a ciascun valore di x.
La proprietà caratterizzante è: OGNI PARALLELA all'asse y ha in comune col grafico ZERO PUNTI O AL MASSIMO UNO.
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4) Dominio, Codominio & C.
Seguo ciò che mi fu insegnato all'Università (negli anni '50 al Liceo di funzioni non se ne parlava, era roba per lo Scientifico mica per noi!).
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Dominio di una funzione è il prodotto cartesiano degl'insiemi da cui vengono i valori degli argomenti; per y = f(x), è l'insieme da cui vengono i valori di x.
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Codominio di una funzione è l'insieme da cui vengono i suoi valori (di y, per y = f(x)).
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Insieme di definizione è quel sottinsieme del dominio ai cui punti corrisponde un valore della funzione.
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Insieme di definizione di tipo T (T in {naturale, cardinale, intero, razionale, reale, complesso, ...}) è quel sottinsieme dell'insieme di definizione ai cui punti corrisponde un valore della funzione di tipo T.
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Insieme immagine è quel sottinsieme del codominio costituito dai valori della funzione.
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NOTE
1) Negli attuali libri scolastici (ma non ancora in quelli universitarii, grazie al Cielo!) a causa di pessime traduzioni dai libri americani è diffusa l'abitudine di chiamare "dominio" quello che ho definito come "insieme di definizione reale" e di chiamare "codominio" quello che ho definito come "insieme immagine".
2) Spero che quanto sopra ti sia riuscito abbastanza semplice: era il mio meglio.
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L'ESERCIZIO
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La funzione y = |x| se x è negativo vale - x, altrimenti vale x.
Il suo grafico se x è negativo è (y = - x) la diagonale dei quadranti pari, altrimenti è (y = x) quella dei quadranti dispari. Ovviamente solo le semirette con y >= 0. Quindi il grafico è una "V" nel semipiano superiore: i lati di un angolo retto col vertice nell'origine.
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La funzione y = |x - 3| ha lo stesso grafico, ma traslato a destra fino a portare il vertice nel punto (3, 0) dove l'argomento s'annulla.
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La funzione y = a*|x - 3| ha ancora un grafico a "V" col vertice in (3, 0), ma con l'ampiezza dell'angolo della "V" che dipende dal valore di "a".
* per a = 0, il grafico è l'asse x e l'angolo è piatto.
* per 0 < a < 1, il grafico è a "V" con l'angolo che varia da piatto a retto.
* per a = 1, il grafico è, ovviamente, lo stesso di y = |x - 3| ad angolo retto.
* per a > 1, il grafico è a "V" con l'angolo, acuto, che va chiudendosi sul semiasse y >= 0.
* per a < 0, i grafici descritti sono ribaltati specularmente sul semipiano y <= 0.
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La funzione y = a*|x - 3| + b ha lo stesso grafico di y = a*|x - 3|, ma col vertice in (3, b): si tratta solo di una traslazione in verticale.
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LE CONSEGNE
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A) Determinare i parametri (a, b) per far sì che (0, 2) e (- 2, 4) appartengano al grafico risolvendo il sistema dei vincoli imposti dalle condizioni d'appartenenza.
* (2 = a*|0 - 3| + b) & (4 = a*|- 2 - 3| + b) ≡
≡ (2 = 3*a + b) & (4 = 5*a + b) ≡
≡ (a = 1) & (b = - 1)
da cui
* y = |x - 3| - 1
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B) Rappresentare f(x), indicandone il dominio e il codominio.
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%2B2%29*x*y%3D0%2Cy%3D%7Cx-3%7C-1%5Dx%3D-3to6%2Cy%3D-3to6
* dominio e codominio: numeri reali x e y.
* insieme di definizione reale: l'intero asse x.
* insieme immagine: il semiasse y >= 0.
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C1) Calcolare le intersezioni con gli assi cartesiani.
* y = |0 - 3| - 1 = 2 da cui Y(0, 2)
* 0 = |x - 3| - 1 ≡
≡ |x - 3| = 1 ≡
≡ (x - 3 = - 1) oppure (x - 3 = + 1) ≡
≡ (x = 2) oppure (x = 4)
da cui
* X1(2, 0) oppure X2(4, 0)
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C2) Calcolare l'area del triangolo di vertici Y, X1, X2.
* base b = 4 - 2 = 2
* altezza h = 2 - 0 = 2
* area S = b/h/2 = 2
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Come nei cartoni animati: THAT'S ALL, FOLKS!
