[Risolto] Disequazione

a. cos(x-π/6) ≥ -1/2

Osserviamo che:

-) le due soluzioni dell'equazione cosy=-1/2 sono y=±2π/3

-) la soluzione della disequazione cosy≥-1/2 è -2π/3+2kπ ≤ y ≤ 2π/3+2kπ

applicandola al nostro caso

-2π/3+2kπ ≤ x-π/6 ≤ 2π/3+2kπ

-2π/3+π/6+2kπ ≤ x ≤ 2π/3+π/6+2kπ

-π/2+2kπ ≤ x ≤ 5π/6 +2kπ con k numero relativo

 

 

b. 2sin²x-3sinx+1≥0

2sin²x-3sinx+1≥0

per semplificare la notazione poniamo t=sinx

2t²-3t+1≥0 

Le due radici del trinomio sono t=1/2 V t=1. 

quindi la disequazione è verificata per 

• t≥1
• t≤1/2 

(di fatto il trinomio può essere rappresentato da una parabola convessa)

Ritornando alla variabile sinx avremo

• sinx≥1 ⇒ x=π/2 + 2kπ
• sinx≤1/2 ⇒ -7π/6 + 2kπ ≤ x ≤ π/6 + 2kπ con k numero relativo.

 

nota. -7π/6 equivale a -210° mentre π/6 vale 30°

occorre prestare attenzione ai risultati riportati sul libro perché il più delle volte sebbene equivalenti sono riportati in forma diversa.

a) cos(x - π/6) >= - 1/2
in quanto coseno ha periodo T = 2*π
Nel periodo [- π, π] si ha
* cos(x - π/6) = - 1/2 ≡ (x - π/6) = ± 2*π/3 ≡ (x = - π/2) oppure (x = 5*π/6)
quindi
* cos(x - π/6) >= - 1/2 ≡ - π/2 <= x <= 5*π/6
------------------------------
b) p(sin(x)) = 2*sin^2(x) - 3*sin(x) + 1 = sin^2(x) - (3/2)*sin(x) + 1/2 >= 0
ha periodo T = 2*π e, in quanto trinomio quadratico in sin(x) con coefficiente direttore positivo, è negativo solo fra gli zeri; pertanto, a meno di T, si ha
* p(sin(x)) < 0 ≡ 1/2 < sin(x) < 1 ≡ (π/6 < x < π/2) oppure (π/2 < x < 5*π/6)
quindi
* p(sin(x)) >= 0 ≡ (sin(x) <= 1/2) oppure (sin(x) >= 1) ≡
≡ (0 <= x <= π/6) oppure (5*π/6 <= x < 2*π) oppure (x = π/2)