Le potenze godono di alcune proprietà delle operazioni che consentono di semplificare notevolmente i calcoli.
Potenze di ugual base
Prendiamo in considerazione le potenze con la stessa base ed eseguiamo il prodotto di due potenze di ugual base.
Prodotto di due o più potenze
DEFINIZIONE
Il prodotto di due o più potenze che hanno la stessa base, è la potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
ESEMPIO: Prodotto di due potenze
$$4^3\times 4^4$$
Per la definizione di potenza:
quindi, si ha:
Allo stesso modo possiamo calcolare:
Prendiamo in considerazione le potenze con la stessa base ed eseguiamo il rapporto di due potenze di ugual base.
DEFINIZIONE
Il rapporto di due potenze con la stessa base è la potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza fra gli esponenti.
ESEMPIO
Per la definizione di potenza:
quindi, si ha:
Allo stesso modo possiamo calcolare:
Prendiamo in considerazione le potenze con la stessa base ed eseguiamo l’elevamento a potenza di una potenza.
DEFINIZIONE
La potenza di una potenza è la potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
ESEMPIO
Poiché $3^3$ è la base della potenza, il suo quadrato è dato da:
Applicando la proprietà del prodotto di due potenze di ugual base, otteniamo:
Allo stesso modo possiamo calcolare:
Potenze con lo stesso esponente
Prendiamo in considerazione il prodotto di più potenze aventi uguale esponente.
DEFINIZIONE
Il prodotto di più potenze che hanno lo stesso esponente è la potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
ESEMPIO
Applicando la definizione di potenza e successivamente le proprietà della moltiplicazione, si ha
Allo stesso modo possiamo calcolare:
DEFINIZIONE
La potenza di un prodotto indicato è uguale al prodotto delle potenze con uguale esponente dei singoli fattori.
ESEMPIO
Invece di eseguire l’operazione:
si può procedere come segue:
Prendiamo in considerazione il rapporto di due potenze aventi uguale esponente.
DEFINIZIONE
Il rapporto di due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha per base il rapporto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
ESEMPIO
che possiamo scrivere:
Applicando successivamente la proprietà dissociativa della moltiplicazione e la proprietà invariantiva della divisione, si ha:
DEFINIZIONE
La potenza di un rapporto è uguale al rapporto delle potenze con uguale esponente del dividendo e del divisore.
ESEMPIO
invece di eseguire l’operazione:
si può procedere come segue:
Osservazioni
Per l’operazione di elevamento a potenza, non valgono le seguenti proprietà delle operazioni con le potenze:
- non vale la proprietà commutativa;
- neppure la proprietà associativa;
- neanche la proprietà distributiva rispetto all’addizione o alla sottrazione.