I prodotti notevoli rappresentano formule di calcolo per i polinomi che permettono di calcolare velocemente determinate potenze e prodotti tra polinomi, e viceversa di scomporli. Queste regole vengono chiamate prodotti notevoli perché fanno riferimento a prodotti ricorrenti nel calcolo tra polinomi.
Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è il binomio costituito dalla differenza fra il quadrato del primo e il quadrato del secondo.
$$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$$
ESEMPIO
$(3a+5b^3)(3a-5b^3)=(3a)^2-(5b^3)^2$
Il quadrato di un binomio
Il quadrato di un binomio è un trinomio che ha come termini il quadrato del primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo e il quadrato del secondo.
$$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$$
ESEMPIO
$(2x+y)^2=(2x)^”+2 \cdot 2x \cdot y + (y)^2$
Il quadrato di un trinomio
Il quadrato di un trinomio è un polinomio che ha come termini i quadrati dei tre termini e il doppio prodotto di ciascun termine per ogni termine che lo segue.
$$(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC$$
ESEMPIO
$(3a-b-2c)^2=9a^2+b^2+4c^2+2(3a)(-b)+2(3a)(-2c)+2(-b)(-2c)=9a^2+b^2+4c^2-6ab-12ac+4bc$
Il cubo di un binomio
Il cubo di un binomio è un quadrinomio che ha come termini il cubo del primo termine, il triplo del quadrato del primo termine per il secondo, il triplo del primo termine per il quadrato del secondo, il cubo del secondo termine.
$$(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$$
ESEMPIO
$(2x^2-y^2)^3=(2x^2)^3+3(2x^2)^2(-y^2)+3(2x^2)(-y)^2+(-y^2)^3=8x^6-12x^4y^2+6x^2y^4-y^6$
Uno schema generale e sintetico dei prodotti notevoli è il seguente:
La potenza di un binomio
Esiste un metodo pratico per conoscere i coefficienti dello sviluppo delle potenze di binomi.
Questa rappresentazione si chiama triangolo di Tartaglia. Il triangolo fornisce i coefficienti dello sviluppo delle potenze dei binomi del tipo a+b.
$$(A+B)^n$$
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