Non sempre l’addizione fra monomi ha come risultato un monomio. Per esempio, $3a+2b+5a-6b=8a-4b$, e $8a-4b$ non è un monomio.
Diamo allora la seguente definizione.
DEFINIZIONE
Si chiama polinomio ogni somma algebrica di monomi.
ESEMPIO
Sono polinomi:
$a+5b$; $3x^2-2ax+7$; $2cy^3+4m^2x-cy^3$
Ogni monomio può essere visto come la somma algebrica di se stesso con il monomio nullo:
$ab^2c=ab^2c+0$
Quindi ogni monomio è un polinomio.
I monomi che compongono un polinomio si dicono anche termini del monomio.
La riduzione a forma normale
Un polinomio può anche contenere monomi simili:
$6a^4b^2-3a^3b^5+2a^4b^2$
In tal caso si sommano i monomi simili. Il polinomio che si ottiene,
$8a^4b^2-3a^3b^5$
si dice ridotto a forma normale.
ESEMPIO
$8x^3y+x^2y^2-3x^4$ è un polinomio ridotto a forma normale.
Due polinomi ridotti a forma normale, e non nulli, sono uguali quando i monomi del primo polinomio sono uguali ai monomi del secondo polinomio, indipendentemente dall’ordine in cui sono scritti.
I polinomi ridotti a forma normale con 1, 2, 3 e 4 termini hanno nomi particolari. Si chiamano, rispettivamente, monomi, binomi, trinomi e quadrinomi.
Il grado di un polinomio ridotto
Si chiama grado di un polinomio ridotto il grado il grado maggiore fra i gradi dei suoi termini.
Inoltre, il grado di un polinomio rispetto a una lettera è il maggiore dei gradi dei suoi termini rispetto a tale lettera.
ESEMPIO
Il polinomio
$6a^4b^2-3a^3b^5+2a^2b$
è di grado 8. Il grado rispetto ad a è 4, rispetto a b è 5.
Un polinomio ridotto è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado.
ESEMPIO
$8x^3y+x^2y^2-3x^4$
è un polinomio omogeneo, in quanto tutti i termini che lo compongono sono di quarto grado.
Un polinomio è ordinato rispetto a una lettera se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine crescente o decrescente.
ESEMPIO
Il polinomio $3x^4+7x^2-x$ è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera x.
Un polinomio è completo rispetto a una lettera se per tale lettera presenta tutte le potenze, dal grado massimo fino al grado 0.
Il termine di grado 0 di un polinomio, ossia quello in cui non compare nessuna lettera, viene detto termine noto.
ESEMPIO
$2aì3-a^2+4a+1$ è un polinomio completo.
Infatti, la lettera a è presente dal grado 3 al grado 0. Il termine noto è 1.
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