L’addizione e la sottrazione di monomi
Consideriamo l’addizione:
$2a^2+5a^2$
Se raccogliamo a fattore comune $a^2$ otteniamo:
$(2+5)a^2=7a^2$
Il risultato è un monomio.
Invece, se l’addizione
$2a^2+5a$
non può essere semplificata in modo che il risultato sia un monomio.
Dunque, si ottiene un monomio solo quando i monomi addendi hanno la stessa parte letterale.
Monomi simili
Monomi che hanno la stessa parte letterale si dicono simili.
ESEMPIO
$4a^2b+6a^2b-8a^2b=$
Raccogliamo la parte letterale a fattore comune:
$=(4+6-8)a^2b=$
Calcoliamo la somma algebrica dei coefficienti:
$=2a^2b$
Somma di monomi simili
La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile a quelli dati, che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.
OSSERVAZIONE
Due monomi simili sono opposti se sono opposti i loro coefficienti. La somma di due monomi opposti è 0.
ESEMPIO
$5ab+(-5ab)=5ab-5ab=(5-5)ab=0$
La moltiplicazione di monomi
Consideriamo la moltiplicazione fra monomi:
$2a^2 \cdot 7a^3$
Possiamo applicare le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione e la prima proprietà delle potenze. Otteniamo:
$2a^2 \cdot 7a^3=2\cdot 7\cdot a^2a^3=14a^5$
Prodotto fra monomi
Il prodotto fra monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali.
La potenza di un monomio
Per eseguire la potenza di un monomio basta applicare le proprietà delle potenze.
ESEMPIO
$(7a^3)^2=7^2(a^3)^2=49a^{3 \cdot 2} =49a^6$
La potenza di un monomio è un monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente dato e per parte letterale la potenza della parte letterale.
ESEMPIO
$\left\lgroup-\frac{3}{2}a^2b^5 \right\rgroup^3=\left\lgroup-\frac{3}{2} \right\rgroup^3a^{2\cdot 3} b^{5\cdot 3} =-\frac{27}{8} a^6b^{15} $
La divisione fra due monomi
Consideriamo la divisione fra monomi:
$4a^2b^3 : 2b^”$
Possiamo eseguire la divisione fra i coefficienti e la divisione fra le parti letterali e poi applicare la seconda proprietà delle potenze:
$(4 : 2) (a^2b^3 : b^2)=2a^2b^{3-2} = 2a^2b$
Il risultato è ancora un monomio.
Ripetiamo le stesse operazioni in un altro caso:
$4a^2b^3 : 2b^5=(4 : 2) (a^2b^3 : b^5)=2a^2b^{3-5} =2a^2b^{-2}$
Il risultato non è un monomio, perchè l’esponente di b è negativo.
Quoziente fra monomi
Dati due monomi, il secondo non nullo e il primo divisibile per il secondo, il loro quoziente è un monomio che ha come coefficiente il quoziente dei coefficienti e come parte letterale il quoziente delle parti letterali.
ESEMPIO
$6a^5b^4 : 5a^3b=(6:5)(a^5 : a^3) (b^4:b)=\frac{6}{5} a^{5-3} b^{4-1} \frac{6}{5} a^2b^3= $
INDICE
- I monomi
- Le operazioni con i monomi
- M.C.D. e m.c.m. fra monomi
- I polinomi
- Le operazioni con i polinomi
- I prodotti notevoli