La topologia della retta
Esponiamo alcune nozioni fondamentali dell’insieme $R$ dei numeri reali.
Poiché esiste una corrispondenza biunivoca tra $R$ e i punti di una retta orientata r, detta retta reale, possiamo identificare ogni sottoinsieme $R$ (insieme numerico) con un sottoinsieme di punti della retta r e quindi parlare anche di topologia della retta.
Gli intervalli
Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta (intervallo illimitato) o a un segmento ( intervallo limitato) della retta reale. Un intervallo può essere chiuso o aperto, a seconda che gli estremi appartengano o meno all’intervallo.
Esso può essere rappresentato in tre modi diversi, come possiamo vedere di seguito.
INTERVALLI LIMITATI
Gli intervalli limitati corrispondono a segmenti della retta reale aventi estremi a e b e lunghezza b-a, che viene detta ampiezza dell’intervallo.
I valori $\frac{b-a}{2}$ e $\frac{b+a}{2}$ sono rispettivamente il raggio e il centro dell’intervallo.
INTERVALLI ILLIMITATI
Gli intorni di un punto
Intorno completo
Dato un numero reale $x_0$, si chiama intorno completo di $x_0$
un qualunque intervallo aperto $I (x_0 )$ contenente $x_0$:
$I(x0) = ]x_0 – \delta_1; x_0 +\delta_2[$
con $\delta_1,\delta_2$ numeri reali positivi.
Quando $ \delta_1=\delta_2 $. il punto $x_0$ è il punto medio dell’intervallo. In questo caso parliamo di intorno circolare di $x_0$.
Intorno circolare
Dato un numero reale $x_0$ e un numero reale positivo $ \delta_$, si chiama intorno circolare di $x_0$, di raggio $\delta$ , l’intervallo aperto $I_ \delta (x_0)$ di centro $x_0$ e raggio $\delta $:
$I_ \delta (x_0) =]x_0- \delta ; x_0+ \delta [$
PROPRIETA’
L’ intersezione e l’unione di due o più intorni di $x_0$ sono ancora degli intorni di $x_0$.
L’intorno destro e l’intorno sinistro di un punto
Dato un intorno di un punto $x_0$, talvolta interessa considerare soltanto la parte dell’intorno che sta a destra di $x_0$ oppure quella che sta a sinistra.
In generale, dato un numero $\delta\epsilon R^+$, chiamiamo:
- intorno destro di $x_0$ l’intervallo $I_\delta^+(x_0)=]x_0;x_0+\delta[$
- intorno sinistro di $x_0$ l’intervallo $I_\delta^(x_0)=]x_0-\delta;x_0[$ .
Gli intorni di infinito
Dati $a, b \epsilon R$ , con $a < b$, chiamiamo:
- intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente:
$I(-\infty ) = ]-\infty ; a[ = {x \epsilon R |x < a}$
- intorno di più infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente:
$I(+ \infty) = ]b; +\infty[ = {x \epsilon R | x > b}$
Si definisce inoltre intorno di infinito l’unione tra un intorno di $-\infty $ e un intorno di $+\infty $, cioè:
$I(\infty) = I(-\infty) U 1(+ \infty) = {x \epsilon R |x < a V x > b}$
Analogamente al caso di un punto reale $x_0$, possiamo parlare di intorno circolare di infinito:
$I_c(\infty)= ]-\infty; – c[ U ]c; + o\infty[$
Esistono insiemi numerici che non sono intervalli.
L proprietà di essere limitato o illimitato non è attribuibile solo agli intervalli, ma anche a un qualunque insieme numerico.
Un insieme numerico F c R è detto:
- superiormente limitato se è possibile determinare un numero reale a, non necessariamente appartenente a F, tale che$ x \leq a$ $\forall x \epsilon F$ ; il numero a è detto un maggiorante di F;
- inferiormente limitato se è possibile determinare un numero reale $\beta$, non necessariamente appartenente a F, tale che $x\geq \beta $ $ \forall x \epsilon F$ ; il numero $ \beta $ è detto un minorante di F;
- limitato se è limitato sia superiormente sia inferiormente, cioè se esiste un intervallo limitato che lo contiene.
Esistono insiemi non limitati superiormente, per esempio l’insieme dei numeri pari. Tali insiemi si dicono numeri illimitati superiormente.
Ci sono anche insiemi non limitati inferiormente, per esempio l’insieme dei numeri razionali minori di 3. Tali insiemi sono detti illimitati inferiormente.
Gli estremi di un insieme
Estremo superiore di un insieme
Dato un insieme E $\subset$ R superiormente limitato, si dice estremo superiore di E quel numero reale M tale che:
- $x\leq M, \forall x\in E$
- $\forall \varepsilon >0 \exists x\in E $ tale che $x>(M-\varepsilon )$
Per indicare l’estremo superiore di un insieme E si usa la notazione $sup_E$. L’estremo superiore può appartenere o non appartenere all’insieme; nel primo caso è detto anche massimo e si usa la notazione $max_E$.
Estremo inferiore di un insieme
Dato un insieme E $\subset$ R inferiormente limitato, si dice estremo inferiore di E quel numero reale L tale che:
- $x\geq L, \forall x\in E$
- $\forall \varepsilon >0 \exists x\in E $ tale che $x<(L+\varepsilon )$
Per indicare l’estremo inferiore di un insieme E si usa la notazione $inf_E$. L’estremo inferiore può appartenere o non appartenere all’insieme; nel primo caso è detto anche minimo e si usa la notazione $min_E$.
Vale la seguente proprietà .
Esistenza e unicità degli estremi superiore o inferiore
L’estremo superiore di un insieme E $\subset$ R non vuoto e superiormente limitato esiste sempre ed è unico.
L’estremo inferiore di un insieme E $\subset$ R non vuoto e inferiormente limitato esiste sempre ed è unico.
Se un insieme E è illimitato superiormente, si pone $sup_E=+\infty $ ; se è illimitato inferiormente, si pone $inf_E=-\infty$.
Con queste definizioni si può dire che ogni sottoinsieme non vuoto di R ha sia estremo superiore sia estremo inferiore.
I punti isolati
Sia $x_0$ un numero reale appartenente a un sottoinsieme A di R. Si dice che $x_0$ è un punto isolato di A se esiste almeno un intorno I di $x_0$ che non contiene altri elementi di A diversi da $x_0$.
I punti di accumulazione
Si dice che il numero reale $x_0$ è un punto di accumulazione di A, sottoinsieme di R, se ogni intorno completo di $x_0$ contiene infiniti punti di A.
INDICE
- La definizione di
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- Teoremi sui limiti