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Esercizio su equazioni fascio circonferenze

  

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Scrivi l'equazione del fascio generato dalle due circonferenze di equazioni x^2 + y^2  -5y = 0 e x^2 + y^2 -10 x -25 = 0 e studia le sue caratteristiche.

a) Determina l'equazione della circonferenza del fascio che ha centro di ascissa uguale a 3

b) Qual è, fra le circonferenze del fascio, quella di raggio minimo ? Determina la sua equazione

Risposte : a) x^2 + y^2 - 6x - 2y - 15 = 0 ; b) x^2 + y^2 + 2x - 6y + 5 = 0

Sono già arrivato a buon punto, perché ho trovato l'equazione del fascio che dovrebbe essere, in forma canonica : x^2 + y^2 - 10x/k+1  - 5k/1+k -25/1+k = 0. Da quest'equazione del fascio ho ricavato k nel caso richiesto al punto a, cioè che l'ascissa del centro sia 3 e ho ottenuto k = 3/2 che sostituito nell'equazione del fascio dà la prima risposta coincidente con quella del testo, cioè x^2 + y^2 - 6x - 2y - 15 = 0. Per la risposta b avevo pensato di imporre la formula del raggio rad (-a/2)^2 + (-b/2)^2 - c = 0 che dovrebbe essere la condizione per ottenere il raggio minimo in un fascio di circonferenze. Ma k in questo caso, diventa un numero immaginario e non riesco a concludere l'esercizio.

Ringrazio chi vorrà leggere tutto ciò che ho scritto e, chi, come sempre mi aiuterà a trovare la giusta soluzione. Buona notte. 

 

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Il primo é corretto. 

Il secondo presenta errori perché il raggio minimo non é zero.

La tua impostazione é parzialmente corretta ma si deve trovare il valore di k che rende minimo r^2. 

 

Te lo scrivo ma con calma. 

Parte prima.

L'espressione di r^2.

L'equazione del fascio di circonferenze é

x^2 + y^2 - 5y + k ( x^2 + y^2 - 10 x - 25 ) = 0

che può essere riscritta come

(1 + k) x^2 + ( 1 + k ) y^2 - 10 kx - 5y - 25 k = 0

x^2 + y^2 - 10k/(1 + k) x - 5/(1 + k) y - 25 k/(1 + k) = 0 con k =/= -1

Da qui, applicando la formula del raggio come avevi proposto, si deduce

r^2 = 100 k^2/(1+k)^2 + 25/(4(1+k)^2) + 25 k/(1+k) = min

[100 k^2 + 25 + 25k * 4 * (1+k) ]/(4(1+k)^2) = min

(200k^2 + 25 + 100k)/(4(1+k)^2) = min

25/4 * (8k^2 + 4k + 1)/(1+k)^2 = min

 

Seconda parte : ricerca del minimo di r^2

Dividendo 8k^2 + 4k + 1 per k^2 + 2k + 1 esce 8 + frazioni proprie

Possiamo allora scrivere

8 + A/(1+k) + B/(1+k)^2 = (8k^2 + 4k + 1)/(1+k)^2

e usare il principio di identità dei polinomi per determinare A e B

8 (1 + k)^2 + A(1 + k) + B = 8k^2 + 4k + 1

8 k^2 + 16k + 8 + Ak + A + B = 8k^2 + 4k + 1

16 + A = 4 => A = -12

8 + A + B = 1 => B = 1 - 8 - A = -7 + 12 = 5

e quindi

r^2 = 25/4 * [ 8 - 12/(1 + k) + 5/(1 + k)^2 ] con k =/= - 1

= 25/4 * (5 u^2 - 12 u + 8) con u = 1/(k+1)

= 125/4 *(u^2 - 12/5 u + 8/5) =

= 125/4 ( u^2 - 2*6/5 u + 36/25 + 40/25 - 36/25 ) =

= 125/4 [ ( u - 6/5)^2 + 4/25 ]

e questa espressione é ovviamente minima con valore 125/4 * 4/25 = 5

quando u = 6/5 => 1 + k = 5/6 => k = -1/6

 

Conclusione

Sostituendo nell'equazione del fascio k = -1/6 esce la circonferenza di equazione

x^2 + y^2 - 10*(-1/6)/(5/6) x - 5/(5/6) y + 25/6 /(5/6) = 0

x^2 + y^2 + 2x - 6y + 5 = 0

come nel risultato riportato.

@eidosm 

Ciao grazie per la risposta, ma la parte dove mi hai spiegato la ricerca del minimo di r^2 non l'ho capita per nulla. Forse non conosco il procedimento; se vuoi e puoi prova a esporla in un altro modo, ammesso che ci sia. Grazie di tutto comunque. 

Non potendo ricorrere alle derivate ho usato il completamento di un quadrato

 

@eidosm 

Ciao, ho letto la tua risposta, ma non conosco neppure quel metodo (ciòé quello del completamento del quadrato). Mi sto informando e ho trovato un altro metodo, che forse é l'unico che potrei svolgere : la circonferenza di raggio minimo di un fascio passante per due punti distinti A e B (che potrebbero essere i punti base) é quella avente il segmento AB come diametro, ossia avente per centro il punto medio del segmento AB e raggio r = 1/2 d (A,B), dove d (A,B) indica la distanza tra i due punti A e B. Saresti così gentile da volermi ancora aiutare utilizzando questo procedimento? Ti ringrazio anticipatamente e attendo una tua risposta in merito. 

Ok. Allora : cerca i punti base dando due valori a k, di cui uno sarà - 1 e ti darà l'asse radicale. 

Poi il centro é il punto medio di MN ed il raggio é MN/2. Ti dò i risultati intermedi :

M = (0,5) e N = (-2,1) => il centro é (-1,3) il raggio é r = rad 5   e la circonferenza é 

(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 5 =>   x^2 + y^2 + 2x - 6y + 5 = 0




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L'asse del segmento AB di estremi due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
------------------------------
Le due generatrici date
* (x^2 + y^2 - 5*y = 0) & (x^2 + y^2 - 10*x - 25 = 0) ≡
≡ A(- 2, 1) oppure B(0, 5)
individuano il segmento AB di estremi i punti base; quindi ogni centro C è su
* asse(AB) ≡ y = (5 - x)/2
cioè è C(k, (5 - k)/2) e ogni raggio r è la comune distanza
* |CA|^2 = |CB|^2 = r^2 = 5*(k^2 + 2*k + 5)/2
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ESPRESSIONE DEL FASCIO
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (5 - k)/2)^2 = 5*(k^2 + 2*k + 5)/2
dove quella di raggio minimo è, ovviamente, la Γ(- 1) centrata nel punto medio di AB che ha per raggio la loro semidistanza.
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a) Determina l'equazione della circonferenza del fascio che ha centro di ascissa uguale a 3
* Γ(3) ≡ (x - 3)^2 + (y - (5 - 3)/2)^2 = 5*(3^2 + 2*3 + 5)/2 ≡
≡ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 50
---------------
b) Qual è, fra le circonferenze del fascio, quella di raggio minimo ? Determina la sua equazione
* Γ(- 1) ≡ (x - (- 1))^2 + (y - (5 - (- 1))/2)^2 = 5*((- 1)^2 + 2*(- 1) + 5)/2 ≡
≡ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 10
---------------
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%285-x%29%2F2%2C%28x-3%29%5E2--%28y-1%29%5E2%3D50%2C%28x--1%29%5E2--%28y-3%29%5E2%3D10%5D

 

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