[Risolto] Logaritmo

DEFINIZIONE DA CONSIDERARE
Il logaritmo in base "b", scritto "log(b, argomento)", è "la funzione inversa dell'esponenziale in base b" vale a dire che, per l'argomento "b^k",
* log(b, b^k) = b^(log(b, k)) = k
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Se la base è il numero "e" di Nepero si usano delle abbreviazioni tradizionali: il logaritmo dell'argomento "a" in base "e" si chiama "logaritmo naturale di a" o, anche più spesso, "logaritmo di a", si scrive "ln(a) = log(e, a)", e si definisce "la funzione inversa dell'esponenziale": insomma se non si nomina la base, vuol dire "e".
Non si devono MAI usare maiuscole perché "Log(z)" è tutt'un'altra funzione.
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Valgono le identità
* log(b, a) = ln(a)/ln(b)
* ln(u*v) = ln(u) + ln(v)
* ln(u/v) = ln(u) - ln(v)
quindi
* ln(1/a) = - ln(a)
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Intorno al 1748 il grande Eulero scoprì un'identità che legava fra loro l'unità negativa (- 1), l'unità immaginaria (i), il numero di Nepero (e) e la costante di Archimede (π) cioè due fra i più celebri irrazionali (nel 1873 e nel 1882 furono poi dimostrati anche trascendenti); Eulero restò così affascinato dalla coincidenza che queste quattro fondamentali costanti avessero un legame che la chiamò "La formula del Diavolo": e^(i*π) = - 1.
La "definizione di logaritmo" da considerare è tutta dentro le poche note dette qui sopra.
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AIUTANDOMI CON ESEMPI
Dalla
* log(b, b^k) = k
per k = 0 si ha che il logaritmo di uno è zero in quasi ogni base
* log(b, b^0) = log(b, 1) = 0
ma sarebbe insensato per la base zero (0^0 non ha significato); si otterrebbe una scrittura contraddittoria anche per la base uno perché
* log(1, 1^k) = log(1, 1) = k
dovrebbe valere per ogni "k" mentre vale solo per k = 0; infine per argomento zero si avrebbe la contraddizione dell'inesistenza di un esponente tale da azzerere b^k
* log(b, b^k = 0) = insensato
Queste considerazioni giustificano l'esclusione delle basi zero e uno e dell'argomento zero: in quei casi il logaritmo è indefinito.
Con ciò si esauriscono le considerazioni sul quesito b.
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Per il quesito a il discorso è MOLTO più sottile. Così com'è scritto esso chiede di «spiegare perché non esistono i logaritmi di numeri negativi» e, leggendolo alla lettera (com'è obbligatorio in sede d'esame) la sola risposta corretta è una smentita perché, prendendo membro a membro il logaritmo della formula del Diavolo si ha
* e^(i*π) = - 1 ≡ ln(e^(i*π)) = ln(- 1)
e applicando l'identità "log(b, b^k) = k" al primo membro si ha
* ln(- 1) = i*π
cioè il logaritmo dell'unità negativa esiste ed è pigreco volte l'unità immaginaria.
Dopodiché basta intendere un numero negativo a < 0 come prodotto a = |a|*(- 1) per calcolare il logaritmo di ogni negativo applicando l'identità "ln(u*v) = ln(u) + ln(v)" e ottenendo
* ln(a) = ln(|a|*(- 1)) = ln(|a|) + ln(- 1) = ln(|a|) + i*π
Ovviamente questo logaritmo, in quanto somma del valore reale "ln(|a|)" e del valore immaginario "i*π" non è esso stesso un valore reale e quindi il quesito a, per avere significato, si deve riscrivere come richiesta di «spiegare perché non esistono i logaritmi REALI di numeri negativi» e la risposta così diventa «Perché hanno anche una parte immaginaria».

C= log in base ( a) di ( b) con a, b>0, a≠1

Allora (a) elevato (c) = b

Ma se (a) è positivo (a) elevato a (c) non può essere negativo e quindi (b) non può essere negativo

(a) deve essere diverso da 1 perché altrimenti qualunque sia il valore di (c) risulterebbe b=1 poiché 1 elevato (c) = 1