Determina due numeri, sapendo che il loro prodotto è i $\frac{24}{7}$ della loro somma e che la somma dei loro quadrati è 100 .
$[6 ; 8]$
Grazie.
Determina due numeri, sapendo che il loro prodotto è i $\frac{24}{7}$ della loro somma e che la somma dei loro quadrati è 100 .
$[6 ; 8]$
Grazie.
373
punti
Livello 2
Il sistema di grado quattro
* (x*y = 24*(x + y)/7) & (x^2 + y^2 = 100)
si compone di due equazioni di grado due e si risolve semplificandolo nell'unione di due sistemi di grado due, ciascuno con due soluzioni: le quattro soluzioni del sistema originale sono tutt'e quattro quelle dei due sistemi.
-----------------------------
Sommando membro a membro la seconda equazione e il doppio della prima si ha
* x^2 + y^2 + 2*x*y = 100 + 48*(x + y)/7 ≡
≡ (x + y)^2 - (48/7)*(x + y) - 100 = 0 ≡
≡ z^2 - (48/7)*z - 100 = 0 ≡
≡ (z = - 50/7) oppure (z = 14) ≡
≡ (x + y = - 50/7) oppure (x + y = 14)
-----------------------------
I due sistemi di grado due sono
* (x + y = - 50/7) & (x^2 + y^2 = 100) ≡
≡ (x = - (5/7)*(√73 + 5)) & (y = (5/7)*(√73 - 5)) oppure (x = (5/7)*(√73 - 5)) & (y = - (5/7)*(√73 + 5))
oppure
* (x + y = 14) & (x^2 + y^2 = 100) ≡
≡ (x = 6) & (y = 8) oppure (x = 8) & (y = 6)
---------------
In un riferimento Oxy le quattro soluzioni sono vertici di un trapezio isoscele simmetrico rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari; il risultato atteso cita soltanto il vertice a Nord (di ordinata massima). Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%28-%285%2F7%29*%28%E2%88%9A73--5%29%2C%285%2F7%29*%28%E2%88%9A73-5%29%29%28%285%2F7%29*%28%E2%88%9A73-5%29%2C-%285%2F7%29*%28%E2%88%9A73--5%29%29%288%2C6%29%286%2C8%29
57798
punti
Genius I
@exprof Grazie mille, questo sistema di quarto grado me lo devo studiare con calma. Buona giornata.
I soli 2 interi la cui somma dei quadrati è 100 sono 6 ed 8 : (99, 96, 91, 84, 75, 51, 19 non sono quadrati)
142504
punti
Genius III
@remanzini_rinaldo Ciao, mi segnali dove hai letto che le incognite debbano essere interi?
11730
punti
Livello 8
