Determina due numeri, sapendo che il loro prodotto è i $\frac{24}{7}$ della loro somma e che la somma dei loro quadrati è 100.
$[6 ; 8]$
Di seguito i miei tentativi di risolverlo, compreso uno effettuato con Wolfram Alpha, che mi ha dato la risposta e le soluzioni ma non i passaggi che mi interessavano per capire la procedura...
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Livello 1
xy = 24/7 *(x + y)
x^2 + y^2 = 100
é un sistema simmetrico non fondamentale
Ponendo S = x + y, P = xy
P = 24/7 S
S^2 - 2P = 100
S^2 - 48/7 S - 100 = 0
7S^2 - 48S - 700 = 0
S = (24 +- sqrt(576 + 4900))/7 = (24 +- 74)/7 = -50/7 o 14
P = 24/7 S = - 1200/49 v 48
hai allora le due risolventi
t^2 - 50/7 t - 1200/49 = 0
t^2 - 14 t + 48 = 0
l'ultima dà x = 6 e y = 8 o il contrario.
Ti lascio da controllare e discutere la prima
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Livello 7
@eidosm thank you very much EidosM, quindi adotto delle variabili di supporto, S e P, in questo modo mi facilito il compito. Io, che devo confrontarmi solo con un manuale che non è un manuale, in quanto non sto in una classe con un prof., come farei senza di voi? 🙂 Buona serata.
Chi ha dimestichezza con le terne pitagoriche sa che 6^2+8^2 = 100
verifica
6*8*7 = 24(6+8)
48*7 = 24*14
semplificando :
1 = 1 ....direi che ci siamo
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Genius III
@remanzini_rinaldo prima volta che le sento nominare, le terne pitagoriche, comunque cerco di acquisire più che altro la forma mentis algebrica... Buona serata
L'equazione di secondo grado in forma normale canonica monica
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
ha discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e radici
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
reali e distinte se Δ > 0 e tali che
* X1 < X2
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto)
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La somma dei quadrati delle radici è
* ((s - √Δ)/2)^2 + ((s + √Δ)/2)^2 = (s^2 + Δ)/2 = (s^2 + s^2 − 4*p)/2 = s^2 − 2*p
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Formalizzando il testo dell'esercizio
"il loro prodotto è i 24/7 della loro somma" ≡ p = (24/7)*s
"la somma dei loro quadrati è 100" ≡ s^2 − 2*p = 100
si ha il sistema
* (p = (24/7)*s) & (s^2 − 2*p = 100) ≡
≡ (p = (24/7)*s) & (s^2 − 2*(24/7)*s = 100) ≡
≡ (s^2 − (48/7)*s - 100 = 0) & (p = (24/7)*s) ≡
≡ ((s = - 50/7) oppure (s = 14)) & (p = (24/7)*s) ≡
≡ (s = - 50/7) & (p = (24/7)*s) oppure (s = 14) & (p = (24/7)*s) ≡
≡ (s = - 50/7) & (p = - 1200/49) oppure (s = 14) & (p = 48)
con questi due risultati intermedii s'impiantano due equazioni risolutive.
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* x^2 - (- 50/7)*x - 1200/49 = 0 ≡
≡ (x = (5/7)*(- 5 - √73) ~= - 9.7) oppure (x = (5/7)*(- 5 + √73) ~= 2.5)
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* x^2 - 14*x + 48 = 0 ≡
≡ (x = 6) oppure (x = 8)
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Genius I
@exprof la seconda parte mi è chiara (soprattutto dopo aver letto la soluzione di EidosM), per la prima parte, in ogni caso devo trovarmi prima X1 e X2, vero? Ti saluto e buon proseguimento.
