Massimi e minimi

(kx^2 + k - 2k + 1)/(x^2 + 1) = k - (2k-1)/(x^2 + 1)

forse ti può aiutare scriverla così.

Cerco di rispondere al solo punto A, come da richiesta.

La funzione:

y = (k·x^2 - k + 1)/(x^2 + 1)

è razionale fratta, definita e continua per ogni valore reale di K su tutto R in quanto il denominatore è sempre maggiore di 0 (maggiore o uguale ad 1).

La funzione è pari in quanto pari sono sia in numeratore che il denominatore quindi è simmetrica rispetto all'asse delle y (cioè x=0).

Per quanto riguarda il segno della funzione, bisogna analizzare il numeratore e fare particolare riferimento all'equazione di secondo grado associata al numeratore:

k·x^2 - (k - 1) = 0 con a=k ; b=0; c=-(k-1)

Quindi determinare il discriminante:

Δ = 4·k·(k - 1)=-4ac (essendo b^2=0)

Abbiamo quindi 3 casi

4·k·(k - 1) > 0----> k < 0 ∨ k > 1

4·k·(k - 1) < 0----> 0 < k < 1

4·k·(k - 1) = 0-----> k = 1 ∨ k = 0

Nel 1° caso: abbiamo 2 radici reali e distinte, quindi la funzione in studio si annulla in due punti e presenta segno positivo e negativo

In particolare se k<0 abbiamo in x=0 un max relativo ed assoluto; se k>1 in x=0 abbiamo un min relativo ed assoluto.

Nel 2° caso la funzione non si annulla mai risultando quindi sempre positiva.

Nel 3° caso:

L'andamento (insieme di realtà, simmetrie, estremi relativi) dei grafici Γ(k) sul piano Oxy delle funzioni delle variabili reali (x, k)
* Γ(k) ≡ f(x) = y = (k*x^2 - k + 1)/(x^2 + 1)
si deduce dalle seguenti osservazioni.
------------------------------
A) Insieme di realtà
La forma f(x), rapporto fra i polinomi N(x, k) e D(x) > 0 ha
* dominio: il piano reale (x, k)
* codominio: la retta reale y
ed è definita reale in ogni punto del dominio. Quindi, per qualsiasi valore reale di k, la corrispondente singola funzione ha l'intero asse x come insieme di definizione reale.
Non è affatto detto che l'insieme immagine sia l'intero asse y.
------------------------------
B) Simmetrie
Per stabilire se una funzione f(x) sia pari, dispari oppure nessuna delle due la si riscrive come somma della sua parte pari con la sua parte dispari: f(x) = fp(x) + fd(x).
Si stabilisce che f(x) è pari se la sua parte dispari è identicamente nulla, e viceversa.
fp(x) = (f(x) + f(- x))/2 = 0 se f(x) = - f(- x) [f(x) è simmetrica rispetto all'origine: dispari].
fd(x) = (f(x) - f(- x))/2 = 0 se f(x) = f(- x) [f(x) è simmetrica rispetto all'asse y: pari].
---------------
Nel caso di
* f(x) = (k*x^2 - k + 1)/(x^2 + 1) = f(- x)
si hanno grafici Γ(k) tutti simmetrici rispetto all'asse y.
------------------------------
C) Estremi relativi
Le due prime derivate di f(x) sono
* f'(x) = 4*(k - 1/2)*x/(x^2 + 1)^2
* f''(x) = 12*(k - 1/2)*(1/3 - x^2)/(x^2 + 1)^3
e mostrano un evidente caso particolare per cui
* Γ(1/2) ≡ f(x) = y = (x^2/2 - 1/2 + 1)/(x^2 + 1) = 1/2
essendo una retta parallela all'asse x ha nulle le derivate di ogni ordine.
---------------
Nel caso generale (k != 1/2) le condizioni di estremo relativo sono
* minimo: (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0)
* massimo: (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0)
Poichè f'(x) = 0 ≡ x = 0 massimi e minimi si distinguono dal segno nell'origine di f''(x), cioè dal segno di
* f''(0) = 4*(k - 1/2)
quindi
* per k < 1/2 si ha un massimo relativo nell'origine
* per k = 1/2 si ha Γ(1/2) piatta e priva di estremi
* per k > 1/2 si ha un minimo relativo nell'origine