Equazioni di secondo grado

a) Ogni squadra incontra ciascuna delle altre una volta sola

le partite sono allora P(n) = n(n-1)/2

si divide per due per non considerare entrambe le coppie AB e BA

b) n(n-1)/2 = 15

n^2 - n - 30 = 0

n = [1 + rad(1+120)]/2 = (1 + 11)/2 = 6

c) n (n - 1)/2 = p

n^2 - n - 2p = 0

n = [1 + rad(1+8p)]/2

80 => no : 8 x 80 + 1 = 641 non ha la radice quadrata esatta (intera)

105 => sì : radice quadrata di 8*105 + 1 = 841 é 29 e (1+29)/2 = 15

Elencate le n squadre in un qualche ordine, il calendario di un girone di sola andata si scrive accoppiando la prima con ciascuna delle n - 1 successive, la seconda con le n - 2 successive, ..., la penultima con l'ultima; in totale
a) p(n) = Σ [k = 1, n - 1] k = (n - 1)*n/2 = T(n - 1)
cioè: il numero di partite di un girone di sola andata fra n squadre è il numero triangolare di ordine n - 1.
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I primi numeri triangolari (T(k) = (k + 1)*k/2), a partire da T(1) = 1, sono
* 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, ...
quindi
b) con 6 squadre, 15 partite.
c1) 80 non è un T(k).
c2) 105 è T(14).
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ALTERNATIVAMENTE
L'equazione di secondo grado in n
* p = (n - 1)*n/2 ≡ n^2 - n - 2*p = 0
con la condizione restrittiva p >= n > 1, dà
* (n^2 - n - 2*p = 0) & (p >= n > 1) ≡
≡ (n(p) = (√(8*p + 1) + 1)/2) & (p >= 3)
da cui
* n(15) = (√(8*15 + 1) + 1)/2 = 6
* n(80) = (√(8*80 + 1) + 1)/2 = (√641 + 1)/2 ~= 13.16, difficile che sia un numero di squadre
* n(105) = (√(8*105 + 1) + 1)/2 = 15

a

15 = (n-1)*n/2

n^2-n-30 = 0

n = (1+√1^2+120)/2 = (1+11)/2 = 6,0 squadre 

b

80*2 = n^2-n

n = (1+√1^2+640)/2 ....641 non è il quadrato di un intero

c

105*2 = n'^2-n'

n' = (1+√1^2+840)/2 ..841  è il quadrato di 29  ed n' risulta pari a (1+29)/2 = 15 squadre 

Pn = (n × (n-1))/2

se n = 3 

(3x (3-1))/2 =2

per n = 12

(12 x (12-1)/2 = 66

si chiama girone all'italiana...