[Risolto] Volumi con gli integrali e sezioni

Provo a svolgere il n. 370

Il lato di ogni quadrato é la lunghezza della corda intercettata

sulla parabola assegnata dalla retta di equazione y = k con 0 <= k <= 4

4 - x^2 = k

x^2 = 4 - k

x = - rad(4 - k) V x = rad (4 - k)

L(k) = 2 rad (4 - k) distanza fra i due punti di intersezione

S(k) = L^2(k) = 4 (4 - k )

dV = S(k) dk

e infine

V = S_[0,4] 4 (4 - k) dk = 4 [ 4k - k^2/2 ]_[0,4] =

= 4 [ 16 - 16/2 ] = 4*8 = 32 unità cubiche.

 

Per il n. 373 si può procedere in modo analogo

 

L(x) = y(x) - 0 = ln(x)   con 1 <= x <= e

S(x) = L^2(x) = ln^2(x) 

dV = ln^2(x) dx 

V = S_[1,e] ln^2(x) dx = 

= S_[1,e] 1* ln^2(x) dx = 

= [x ln^2(x) - S x * 2 ln (x) * 1/x dx]_[1,e] = 

= [ x ln^2 (x) - 2 S 1*ln(x) dx ]_[1,e] =

= [ x ln^2(x) - 2( x ln (x) - S x*1/x dx ) ]_[1,e] =

= [ x ln^2(x) - 2x ln x + 2x ]_[1,e] =

= (e*1 - 2e*1 + 2e) - (0 - 0 + 2*1) = 

= e - 2