Vi chiedo aiuto per questo esercizio.

a me risulta 5049 

La somma assegnata può essere riscritta come 

1 + 2/(3^2 - 1) + 1 + 2/(5^2-1) + .... + 1 + 2/(99^2-1)

Se il generico numero dispari é indicato con 2n + 1

le coppie di addendi così scritte sono N 

con 2N + 1 = 99 => N = 49.

Ti ritrovi quindi a sommare 49 volte 1 (49)

a cui devi aggiungere 

2 (1/(3^2 - 1) + ..... + 1/(99^2 - 1)).

Ora il generico 1/(m^2 - 1)

si può decomporre in 

1/2*(1/(m-1) -  1/(m+1))

per cui ti trovi 49 + 1/2 - 1/4 + 1/4 - 1/6... +

+ 1/98 - 1/100 = 49 + 1/2 - 1/100 =

= 49.49 = 4949/100

Così p + q = 5049

La successione di termine generico, con indice k naturale,
* a(k) = ((2*k + 1)^2 + 1)/((2*k + 1)^2 - 1) =
= 1 + 1/(2*k) - 1/(2*(k + 1))
ha somme parziali
* s(n) = Σ [k = 1, n] a(k)
La somma indicata è s(49) perché 99 = 2*49 + 1.
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* s(n) = Σ [k = 1, n] (1 + 1/(2*k) - 1/(2*(k + 1))) =
= Σ [k = 1, n] 1 + Σ [k = 1, n] (1/(2*k) - 1/(2*(k + 1))) =
= (n) + (1/2)*Σ [k = 1, n] (1/(k*(k + 1))) =
= n + (1/2)*n/(n + 1) =
= n*(2*n + 3)/(2*(n + 1))
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* s(49) = p/q = 49*(2*49 + 3)/(2*(49 + 1)) = 4949/100
* p + q = 4949 + 100 = 5049
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%CE%A3%5Bk%3D1%2Cn%5D%281%2F%28k*%28k--1%29%29%29