3.19 Esprimere il prodotto triplo $V_1$. $\left( V _2 \times V _3\right)$ sotto forma di determinante. Ricavare da esso le sue proprietà di simmetria, e cioè che
$$
\begin{aligned}
V_1 \cdot V_2 \times V_3 & =V_3 \cdot V_1 \times V_2 \\
& =V_2 \cdot V_3 \times V_1
\end{aligned}
$$
Dimostrare che il valore del prodotto triplo è uguale al volume del parallelepipedo costruito con i tre vettori.
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Livello 3
Scrivendo solo su tastiera preferisco usare simboli monocarattere.
Scrivo i vettori con l'elenco delLE componenti
* V1 = A(a, p, u)
* V2 = B(b, q, v)
* V3 = C(c, r, w)
Il prodotto scalare fra LE componenti e i versori dà la rappresentazione come somma DEI componenti
* (x, y, z).(i, j, k) = x*i + y*j + z*k
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Del prodotto vettoriale
* V2 × V3 = B × C = det[{{i, j, k}, {b, q, v}, {c, r, w}}] =
= (q*w - r*v)*i + (c*v - b*w)*j + (b*r - c*q)*k
di cui fare poi il prodotto scalare con V1 = A, interessano solo le componenti cioè
* B × C = ((q*w - r*v), (c*v - b*w), (b*r - c*q))
che sono gli addendi di
* det[{{1, 1, 1}, {b, q, v}, {c, r, w}}]
Quindi
* A.(B × C) = (a, p, u).((q*w - r*v), (c*v - b*w), (b*r - c*q)) =
= a*(q*w - r*v) + p*(c*v - b*w) + u*(b*r - c*q)
cioè
* det[{{a, p, u}, {b, q, v}, {c, r, w}}] = A.(B × C)
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1) "Ricavare ... simmetria"
* C.(A × B) = det[{{c, r, w}, {a, p, u}, {b, q, v}}]
* B.(C × A) = det[{{b, q, v}, {c, r, w}, {a, p, u}}]
La matrice ottenuta con una rotazione delle tre righe si ottiene anche facendo due scambi; ogni scambio muta il segno del determinante; con due scambi si ha l'identità.
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2) "Dimostrare ..."
Con
* θ = angolo convesso fra A e B
* φ = angolo convesso fra C e il piano di (A, B)
si ha
* A × B = |A|*|B|*sin(θ)
che è proprio l'area S del parallelogramma formato da A e B come lati adiacenti; per avere il volume V del parallelepipedo di spigoli (A, B, C) si deve moltiplicare tale area per l'altezza
* h = |C|*cos(φ)
ottenendo
* V = |A|*|B|*|C|*sin(θ)*cos(φ)
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Ti lascio tutto il piacere di calcolare con carta e penna l'equivalenza fra quest'ultima espressione e uno dei tre determinanti. Farlo su tastiera, anche solo ricopiando ed editando, sarebbe al di là delle mie riserve di pazienza. Tanto per darti un'idea vedi il paragrafo "Alternate forms assuming a, b, c, p, q, r, u, v, and w are real" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify%7C%7C%28a%2Cp%2Cu%29%7C%7C*%7C%7C%28b%2Cq%2Cv%29%7C%7C*%7C%7C%28c%2Cr%2Cw%29%7C%7C
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Genius I
@exprof tantissime grazie, risolvere queste dimostrazioni non e' da tutti
e pensare che il prob. si trova nel paragrafo dei "facili"
