vettori

un robot viene programmato all'interno di un hangar per muoversi; i ricercatori usano pareti perpendicolari come sistema di riferimento cartesiano e l'angolo tra le pareti come origine rispetto a questo sistema di riferimento il robot si trova all'interno del punto A(12m,8m) e da qui si sposta in linea retta in un altro punto B(36m,16m) per poi compiere  un altro spostamento s1x=-9m s2y=18m

calcola la lunghezza totale L del cammino percorso dal robot

tratto AB = √(36-12)^2+(16-8)^2 = √24^2+8^2 = 8√3^2+1 = 8√10 m

tratto BC =  9√1^2+2^2 = 9√5 m 

L =( 8√10+9√5)  m (pari a circa 45,423 m) 

il modulo S dello spostamento totale s

X = √(Xb-9-12)^2+(Yb+18-8)^2 = √15^2+26^2 = 30,02 m

l'angolo Θ che il vettore totale S forma con il verso positivo dell'asse x

Θ = arctan 26/15 = 60,02°

MA TU L'ITALIANO L'HAI IMPARATO NEL BIAFRA A UNA SCUOLA SERALE?
Capisco che il problema della fame soverchia quello dell'istruzione, ma santo cielo ci dovrebb'essere un limite a tutto!
Scrivendo "un robot viene programmato all interno di un hangar per muoversi" invece di "Un robot è programmato per muoversi all'interno di un hangar" commetti due errori d'ortografia, uno sulla confusione fra ausiliario e servile e uno GRAVE di sintassi che snatura il senso dell'intera frase: tu hai implicitamente affermata l'esistenza di hangar per stare fermi e di robot che si programmano all'esterno, checché ciò possa significare ai fini dell'esercizio!
Scrivendo "all interno del punto A(12m,8m)" invece di "nel punto A(12, 8) m" o di "in A(12, 8) m" tu hai esplicitamente sconfessato Euclide e 24 secoli di geometria.
Scrivendo "si sposta in linea retta" hai fatto il tuo stretto dovere visto che c'è anche un quesito sulla "lunghezza totate del cammino" oltre a quello ovvio sul "modulo dello spostamento totale s totale".
Invece, non scrivendolo in "poi compie un altro spostamento s1x=-9m s2y=18m" hai vanificato il quesito sul cammino in quanto, come diceva Ennio Flaiano, "In Italia la linea più breve tra due punti è l'arabesco. Viviamo in una rete d'arabeschi.".
Infine "l angolo che il vettore s totale forma con il verso positivo dell asse x" NON ESISTE perché gli angoli sono definiti fra semirette, non fra versi.
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Tutto ciò premesso, non ti sarebbe stato più economico chiederci di esaminare il triangolo di vertici
* A(12, 8), B(36, 16), C = B + (- 9, 18) = (27, 34)
e di chiedere l'anomalia θ che il segmento orientato da A a C, di componenti
* AC = C - A = (27, 34) - (12, 8) = (15, 26)
ha rispetto al semiasse x > 0?
* θ = arctg(26/15) ~= 1.0475 rad ~= 60° 1' 6''
Vedi il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%2812%2C8%29%2836%2C16%29%2827%2C34%29

Lo spostamento da B a C è con riferimento incrementale e quindi, in assoluto, il punto C risulta:

$C (36-9; 16+18) = (27; 34)$

quindi, spostamento totale:

$AC=\sqrt{(C_x-A_x)²+(C_y-A_y)²}$=

=$\sqrt{(27-12)²+(34-8)²}=\sqrt{15²+26²}≅30,02~m$;

lunghezza del percorso AB+BC:

$AB=\sqrt{(B_x-A_x)²+(B-y-A_y)²}$=

=$\sqrt{(36-12)²+(16-8)²}=\sqrt{24²+8²}≅25,3~m$;

$BC= \sqrt{9²+18²} = 20,12~m$;

$AB+BC= 25,3+20,12  ≅ 45,42~m$.

angolo del vettore AC rispetto all'asse orizzontale:

$α=tan^{-1}\bigg(\frac{C_y-A_y}{C_x-A_x}\bigg)=tan^{-1}\bigg(\frac{34-8}{27-12}\bigg) = tan^{-1}\bigg(\frac{26}{15}\bigg)≅ 60,018°$.