[Risolto] Vertici intersezioni circonferenza e iperbole equilatera e area figura piana

Trovo poco credibile che unendo quattro punti complanari non si formi nessuna figura piana; però comprendo lo spirito dell'affermazione dal momento che il testo nomina i vertici e trascura le loro connessioni.
Tuttavia dire che l'area dovrebb'essere S = 6 indica che le connessioni devono essere racchiudenti.
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La circonferenza
* Γc ≡ x^2 + y^2 - 18*x - 18*y + 112 = 0 ≡
≡ (x - 9)^2 + (y - 9)^2 = 50 = (5*√2)^2
e l'iperbole
* Γh ≡ x*y = 16
hanno punti comuni nelle soluzioni reali del sistema
* (x*y = 16) & ((x - 9)^2 + (y - 9)^2 = 50) ≡
≡ P(2, 8), T(4, 4), Q(8, 2)
essendo tangenti in T e secanti in P e Q.
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Sul grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D16%2C%28x-9%29%5E2%2B%28y-9%29%5E2%3D50%5Dx%3D1to9%2Cy%3D1to9
io, di figure piane chiuse con vertici PTQ, ne vedo due.
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1) Il triangolo PTQ di base
* b = |PQ| = 6*√2
sulla retta
* s ≡ PQ ≡ y = 10 - x
e altezza
* h = |Ts| = √2
da cui
* S = b*h/2 = (6*√2)*√2/2 = 6
che è proprio il risultato atteso.
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2) La somma delle due pseudolunule simmetriche rispetto T, la cui area è il doppio di quella di una; e questa è il modulo dell'integrale, fra l'ascissa di T e quella d'un altro vertice, della differenza fra le due ordinate.
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Da Γc la semicirconferenza inferiore
* ((x - 9)^2 + (y - 9)^2 = 50) & (y < 9) ≡
≡ yc = 9 - √(- (x^2 - 18*x + 31))
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Da Γh il ramo superiore
* (x*y = 16) & (y > 0) ≡
≡ (yh = 16/x) & (y > 0)
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* f(x) = yh - yc = 16/x + √(- (x^2 - 18*x + 31)) - 9
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D0%2Cy%3D16%2Fx%2B%E2%88%9A%28-%28x%5E2-18*x%2B31%29%29-9%5Dx%3D2to8%2Cy%3D-0.1to0.25
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* F(x) = ∫ f(x)*dx = ((x - 9)/2)*√(- (x^2 - 18*x + 31)) - 9*x + 16*ln(x) - 25*arcsin((9 - x)/(5*√2)) + c
* I(f, a, b) = F(b) - F(a)
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* S = 2*|I(f, 2, 4)| = 32*ln(2) + 50*arcsin(7/(5*√2)) - (25/2)*π - 54 ~=
~= 0.355765 != 6

Ciao devi adoperare il calcolo integrale. Devi risolvere l’equazione della circonferenza rispetto ad y e prendere come funzione la semicirconferenza di ordinate inferiore a 9 (quella sotto tanto per intenderci). Nello stesso modo risolvi y=16/x.

Integri da x=2 fino ad x=4 la differenza è poi da x=4 ad x=8

Prova.

In effetti la superficie piana individuata dai 3 punti è quella di un triangolo:

[2, 8]

[4, 4]

[8, 2]

[2, 8]

Α = 1/2·ABS(2·4 + 4·2 + 8·8 - (2·2 + 8·4 + 4·8))------> Α = 6