[Risolto] Vertice paraboloide

Non posso rispondere al quesito troppo conciso: non capisco cosa sia un "riferimento cartesiano (NON canonico)", né l'esempio m'illumina perché è banale che abbia il vertice nell'origine.
Infatti, per z = 0, l'equazione
* x^2 + 6*x*y + y^2 - 2*z = 0
rappresenta un'ellisse (intersezione col piano Oxy) degenere sul proprio centro e, per l'assenza di termini lineari, il centro è O(0, 0) in quanto il termine rettangolare rappresenta solo una rotazione di centro O.
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In generale, da una quadrica riducibile alla forma
* z = A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + p*x + q*y + r
si ricava con opportune traslazioni e rotazioni la forma
* (x/a)^2 + (y/b)^2 = z/c
che ha il vertice nell'origine e da questa, invertendo rotazioni e traslazioni, si calcolano le coordinate del vertice originale.
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Un altro modo è quello di determinare la direzione delle rette che hanno esattamente una intersezione col paraboloide, scrivere il fascio di piani ortogonali a quella direzione e calcolare quale di questi piani intersechi il paraboloide su un'ellisse degenere sul proprio centro: questo centro è il vertice cercato.