Verifichina #7: goniometria

\documentclass[a4paper,9pt]{article}

% ---------------- LINGUA E FONT ----------------

\usepackage[italian]{babel}

\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage{microtype}

% ---------------- IMPAGINAZIONE ----------------

\usepackage{geometry}

\geometry{margin=1.5cm}

\usepackage{setspace}

\setstretch{1.00}

% ---------------- MATEMATICA ----------------

\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,mathtools}

% ---------------- TABELLE ----------------

\usepackage{array}

\usepackage{tabularx}

\usepackage{multirow}

\setlength{\extrarowheight}{2pt}

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}

\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\arraybackslash}p{#1}}

\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}p{#1}}

% ---------------- LISTE ----------------

\usepackage{enumitem}

\setlist{

 itemsep=0.3em,

 topsep=0.3em,

 parsep=0pt

}

% ================= DOCUMENTO =================

\begin{document}

\begin{center}

{\Large \textbf{Verifica di Matematica}}\\[0.2cm]

Nome: \underline{\hspace{4cm}} \hfill

Classe: \underline{\hspace{2.5cm}} \hfill

Data: \underline{\hspace{2.5cm}}

\end{center}

\textit{Ogni risposta deve essere giustificata. Qualora mancasse la giustificazione, l'esercizio verrà considerato non valido (0pt) a prescindere dal risultato ottenuto.}

\vspace{0.2cm}

\small \small

\begin{tabularx}{\textwidth}{|C{1.2cm}|C{0.8cm}|X|C{2cm}|}

\hline

\textbf{Livello} & \textbf{N.} & \textbf{Esercizio} & \textbf{Punti} \\

\hline

\multirow{4}{*}{I}

& 1 &

Si individuino, se esistono, le soluzioni delle seguenti equazioni goniometriche:

\begin{enumerate}[label=\roman*.]

\item $2 \cos 5x + \sqrt{2}=0$;

\item $\sin (x- \frac{\pi}{8})=\cos ( \frac{\pi}{4}-x)$;

\item $8\sin ^2 x \cos^2 x=1$;

\item $\cos ^2 x + \sin^2 2x =1$.

\end{enumerate}

& \dots/4pt \\

\cline{2-4}

& 2 &

Si individuino, se esistono, le soluzioni delle seguenti disequazioni goniometriche:

\begin{enumerate}[label=\roman*.]

\item $\frac{\tan ^2 x- \sqrt{3} \tan x}{\tan ^2 x-1}<1$;

\item $|\sin x| \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$;

\item $\sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x + 3\cos 2x} \geq \sqrt{2}$.

\end{enumerate}

& \dots/6pt \\

\cline{2-4}

& 3 &

Due osservatori $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$ distano tra loro $100$ m e osservano in cielo un pallone aerostatico $\mathcal{P}$. L'angolo tra il segmento $\overline{AB}$ e la direzione $\overrightarrow{AP}$ è $45^ \circ$, mentre l'angolo tra il segmento $\overline{BA}$ e la direzione $\overrightarrow{BP}$ è $60^ \circ$. Calcolare la distanza del pallone dall'osservatore $\mathcal{A}$.

& \dots/5pt \\

\cline{2-4}

& 4 &

Svolgere una delle seguenti consegne:

\begin{enumerate}[label=\roman*.]

\item Si ricavi una delle seguenti relazioni: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1$, $\cos \frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}}$;

\item Determinare il periodo della funzione $f(x)=\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}$;

\item Spiegare la differenza tra il sistema di misura degli angoli in gradi e quello in radianti, descrivendo come sono stati definiti e costruiti. Illustrare inoltre il procedimento per convertire un angolo espresso in gradi nel corrispondente valore in radianti e viceversa.

\end{enumerate}

& \dots/6pt \\

\hline

\multirow{2}{*}{II}

& 1 &

Le misure dei lati di un triangolo sono $40, 60$ e $80$ cm.

Si calcolino, con l'aiuto di una calcolatrice, le ampiezze degli angoli del triangolo approssimandole in gradi e primi sessagesimali.

& \dots/6pt \\

\cline{2-4}

& 2 &

Si consideri, nel piano euclideo munito di sistema di riferimento cartesiano $Oxy$,

il triangolo di vertici \( A(1,0), B(-1,0), C(0,1). \)

Determinare le coordinate polari dei vertici del triangolo e rappresentarlo nel piano polare $(\rho,\theta)$, ove $\rho$ indica la distanza di un punto dall'origine $O$, mentre $\theta$ l'angolo formato dalla direzione $\overrightarrow{OP}$ con il semiasse positivo delle ascisse, misurato in senso antiorario.

\textit{Nota: si ricorda che il passaggio da coordinate cartesiane a polari avviene tramite le seguenti relazioni:  \( x= \rho \cos \theta, \qquad y= \rho \sin \theta, \qquad \rho^2=x^2+y^2. \)}

& \dots/10pt \\

\hline

\multirow{1}{*}{III / Jolly}

& 1 &

\textbf{Omotopia.} Nel piano euclideo $\mathbb{R}^2$ si considerino le due curve parametriche:

\[

\gamma, \eta : [0,2\pi] \to \mathbb{R}^2,

\qquad

\gamma(t) = (\cos t, \sin t),

\qquad

\eta(t) = (a\cos t, b\sin t). \qquad a,b \in \mathbb{R}_{>0}

\]

\begin{enumerate}

\item Mostrare che $\gamma$ rappresenta una circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine e che $\eta$ rappresenta un'ellisse centrata nell'origine.

\item Considerare l'applicazione

\[

H : [0,1] \times [0,2\pi] \to \mathbb{R}^2, \ \ \ \ \  \quadd

(s,t) \mapsto

\begin{pmatrix}

(1 - s + sa)\cos t \\

(1 - s + sb)\sin t

\end{pmatrix}

\]

Mostrare che:  \(

\text{a) } H(0,t) = \gamma(t), \qquad \text{b) } H(1,t) = \eta(t); \)

\text{c) } per ogni $s \in [0,1]$, la funzione $t \mapsto H(s,t)$ è una curva chiusa continua.

\item Sapendo che due curve $\gamma$ ed $\eta$ si dicono \textit{omotope} se esiste una funzione continua \( H : [0,1] \times [0,2\pi] \to \mathbb{R}^2 \)

tale che \( H(0,t) = \gamma(t),  H(1,t) = \eta(t) \), concludere che la circonferenza e l'ellisse sono omotope in $\mathbb{R}^2$.

\item Descrivere geometricamente cosa rappresenta un'omotopia.

\end{enumerate}

& \dots/10pt \\

\hline

\end{tabularx}

\normalsize

\vspace{0.3cm}

\textit{Il questionario è stato scritto e condiviso da RebC - SOS Matematica.}

\vfill

\begin{center}

\small \small \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}

\hline

\textbf{Voto:} & 4,5 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 10L \\

\hline

\textbf{Punteggio:} & $<5$ pt & 5 pt & 6 pt & 10 pt & 12 pt & 14 pt & 18 pt & $>18$ pt \\

\hline

\end{tabular}

\textit{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  Buon lavoro!}

\end{center}

\end{document}